아델 환 문서 원본 보기

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[[유체론]]에서 '''아델 환'''(adèle環, {{llang|en|adèle ring}})은 [[유리수체]]나 다른 [[대수적 수체]]의 모든 [[완비 거리 공간|완비화]]를 대칭적으로 포함하는 [[위상환]]이다. 아델 환의 원소를 '''아델'''({{llang|en|adèle}})이라고 한다.

== 정의 ==
=== 정수 아델 환 ===
정수환 <math>\mathbb Z</math>의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>는 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p</math>
여기서 후자 (모든 [[p진수|p진 정수환]]들의 곱)는 [[중국인의 나머지 정리]]에 의한 것이다.

'''정수 아델 환'''({{llang|en|ring of integral adèles}}) <math>\mathbb A_{\mathbb Z}</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}</math>

=== 대역체의 이델 환 ===
[[대역체]] <math>K</math>의 아델 환은 다음과 같다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|357}}
:<math>\mathbb A_K=\prod_v'K_v</math>
여기서 <math>K_v</math>는 자리 <math>v</math>에 대한 완비화 [[국소체]]이며, <math>\prod_v'</math>는 모든 [[자리 (수론)|자리]]에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.
:<math>\forall a\in\mathbb A_K\colon\{v\colon v(a_v)>0\}<\aleph_0</math>
즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.

만약 <math>K</math>가 [[대수적 수체]] <math>K</math>인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나타낼 수도 있다.
:<math>\mathbb A_K=K\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}</math>

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.
:<math>\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p</math>
여기서 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[p진수]]체이고, <math>\prod'</math>는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. <math>\mathbb A_{\mathbb Q}</math>의 원소 <math>(a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots)</math> 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

=== 성질 ===
수체 <math>K</math>에 대하여, 아델 환 <math>\mathbb A_K</math>의 덧셈군은 [[국소 콤팩트]] [[위상군]]이다. 이 아벨 군의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 스스로와 동형이다.

== 이델 군 ==
아델 환 <math>\mathbb A_K</math>의 [[가역원]]들의 [[군 (수학)|군]] <math>\mathbb A_K^\times</math>를 '''이델 군'''(idèle群, {{llang|en|idèle group}})이라고 한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|357}} 이 경우, [[부분 공간 위상]]을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 [[위상군]]이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|361}} 우선, 아델 환의 [[곱집합]] <math>\mathbb A\times\mathbb A</math>에 [[곱공간]] 위상을 주자. 이델 군 <math>\mathbb K^\times</math>는 그 속에 다음과 같은 [[부분 집합]]을 이룬다.
:<math>\iota\colon\mathbb A_K^\times\hookrightarrow\mathbb A_K\times\mathbb A_K</math>
:<math>\iota\colon x\mapsto(x,x^{-1})</math>
이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, <math>\mathbb A_K^\times</math>는 위상군을 이룬다.

[[대역체]] <math>K</math>의 이델 군 <math>\mathbb A_K^\times</math>의 경우, 가역원군 <math>K^\times</math>로부터 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>i\colon K^\times\to\mathbb A_K^\times</math>
:<math>i\colon a\mapsto(a,a,a,\dots)\in\prod_p'K_p^\times</math>
이 준동형의 [[상 (수학)|상]]을 '''주 이델'''({{llang|en|principal idèle}})이라고 한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|359, Definition VI.1.2}} 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 [[몫군]] <math>C_K</math>를 '''이델 유군'''(idèle類群, {{llang|en|idèle class group}})이라고 한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|359, Definition VI.1.2}}

=== 성질 ===
이델 군은 [[국소 콤팩트]] [[위상군]]을 이룬다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|361, Proposition IV.1.5}}

[[유체론]]에 따라서, 임의의 [[대역체]] <math>K</math>에 대하여 다음과 같은 자연스러운 [[군 준동형]]이 존재하며, 이를 '''대역 아르틴 준동형'''이라고 한다.
:<math>C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{ab}}/K)</math>
여기서 <math>K^{\operatorname{ab}}</math>는 <math>K</math>의 극대 [[아벨 확대]]이다.
이를 통하여, 다음과 같은 [[사유한군]]의 동형이 존재한다. (여기서 좌변은 이델 유군의 [[사유한 완비]]이다.)
:<math>\hat C_K\cong\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{ab}}/K)</math>

== 역사 ==
"이델"({{llang|fr|idèle}})의 개념은 [[클로드 슈발레]]가 도입하였다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|357}} 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"({{llang|fr|élément idéal|엘레망티데알}})이라는 이름으로 도입하였고,<ref>{{저널 인용 | last=Chevalley | first=Claude |저자링크=클로드 슈발레 | title=Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies | jfm=62.1153.02  | 날짜=1936 | journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées  | volume=15 | pages=359–371  | 언어=fr }}</ref> 1940년에는 [[헬무트 하세]]의 의견을 따라 {{llang|fr|idèle|이델}}로 축약하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Chevalley | first=Claude | 저자링크=클로드 슈발레 | title=La théorie du corps de classes | jstor=1969013 | mr=0002357  | 날짜=1940 | journal= Annals of Mathematics (2nd series) | issn=0003-486X | volume=41 | pages=394–418 | 언어=fr}}</ref> 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|357}}

[[앙드레 베유]]는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다.<ref>{{저널 인용 | last1=Weil | first1=André | author1-link=앙드레 베유 | title=Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002174502 | language=de | doi=10.1515/crll.1938.179.129 | year=1938 | journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | volume=179 | pages=129–133}}</ref> 이후 [[존 테이트]]는 이를 "값매김 벡터"({{llang|en|valuation vector}})라고 불렸고,<ref>{{서적 인용 | last1=Tate | first1=John T. | 저자링크=존 테이트 | title=Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) | publisher=Thompson, Washington, D.C. | isbn=978-0-9502734-2-6 | mr=0217026 | year=1950 | chapter=Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions | pages=305–347|언어=en}}</ref> [[클로드 슈발레]]는 이를 재분배({{llang|en|repartition}})라고 불렀다.<ref>{{서적 인용 | last1=Chevalley | first1=Claude | title=Introduction to the theory of algebraic functions of one variable | publisher=American Mathematical Society | series=Mathematical Surveys |권=6 | mr=0042164  | year=1951|언어=en}}</ref> "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며,<ref>{{저널 인용 | last1=Jaffard | first1=Paul | title=Anneaux d’adèles (d’après Iwasawa) | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1954-1956__3__23_0 | 저널=Séminaire Bourbaki | year=1954-12|권=3|호=103|쪽=23–33|mr=1611369|zbl=0138.03301|언어=fr}}</ref> 아마 [[앙드레 베유]]가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"({{llang|fr|[[:wiktionary:Adèle|adèle]]}})은 [[프랑스어]]에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"({{llang|fr|idèle additif|이델 아디티프}})을 줄인 것이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|357}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Fröhlich | first=Albrecht | 공저자=[[존 윌리엄 스콧 캐셀스|J. W. Cassels]]| 제목=Algebraic number theory | url=https://archive.org/details/algebraicnumbert0000unse_n9o0 | publisher=Academic Press | isbn=978-0-12-163251-9 | 날짜=1967 | zbl=0153.07403|언어=en }}
* {{서적 인용 | last=Lang | first=Serge | authorlink=서지 랭 | title=Algebraic number theory | edition=2판 | publisher=Springer | year=1994 | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=110 | place=New York | isbn=978-0-387-94225-4 | mr=1282723 | zbl=0811.11001|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Adele group|first=V.P.|last=Platonov}}
* {{eom|title=Idèle}}
* {{매스월드|id=Adele|title=Adèle}}
* {{매스월드|id=AdeleGroup|title=Adèle group}}
* {{매스월드|id=Idele|title=Idèle}}
* {{nlab|id=ring of adeles|title=Ring of adeles}}
* {{nlab|id=group of ideles|title=Group of ideles}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/05/21/the-adele-ring/|제목= The adele ring |이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-05-21|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/05/22/ideles-idele-classes-and-applications/|제목= Ideles, idele classes, and applications |이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-05-22|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/06/03/why-the-idele-group-is-really-an-ideal-group/|제목= Why the idele class group is really an ideal group|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-06-03|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[아이디얼 유군]]
* [[반직선 유군]]

[[분류:유체론]]
[[분류:대수적 수론]]