아녜시의 마녀 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''아녜시의 마녀'''(Agnesi-魔女, {{llang|en|witch of Agnesi}})는 [[대수 곡선]]의 하나이다. [[마리아 아녜시]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
[[파일:WitchOfAgnesi03a.png|390px|thumb|right|아녜시의 마녀의 작도]]
좌표평면에서 중심이 (0, a)이고 반지름이 a인 원을 생각하자. 점 (0, 0)을 지나는 직선은 이 원과 점 A에서 만나며, 직선 y=2a 위의 점 N에서 이 직선과 만난다. A를 지나는 수평선과 N을 지나는 수직선을 그리면 교점 P를 구할 수 있다. '''아녜시의 마녀'''는 점 P의 자취이다.

직선 OA와 y축 사이의 각 θ를 이용하여 아녜시의 마녀의 방정식을 나타낼 수 있다. P의 좌표를 (x, y)라고 하자. 그러면∠OAM=90˚이고, OM는 원의 지름이다. 직각삼각형 OAM의 성질에 의하여
:<math>OA = OM \cos\theta = 2a \cos\theta</math>

를 얻는다. 점 A, N을 각각 x축에 사영(projection)한 점을 R, S라고 하자. 그러면 ONS는 직각삼각형이므로 OS = x = NS tanθ = 2a tanθ가 성립하고, OAR이 직각삼각형이므로 <math>AR = y = OA \cos\theta = 2a \cos^{2}\theta</math>를 얻는다. 따라서 아녜시의 마녀의 방정식은
:<math>x=2a\tan\theta, y=2a\cos^{2}\theta</math>
가 된다.

여기서 x와 y의 관계식을 찾으려면 위 식의 θ를 소거해야 한다. 등식 <math>1 + \tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}</math>를 이용하면 다음을 얻는다.
:<math>y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}. </math>
이 식으로부터 여러 가지 성질을 이끌어낼 수 있다. 먼저 x → ±∞일 때 y → 0이므로, 이 곡선은 x축을 점근선으로 가진다. 둘째, 이 곡선과 점근선 사이의 넓이는 <math>4 \pi a^{2}</math>이다. 즉 원의 넓이의 4배이다. 또한, 이 곡선은 θ=±π/6에서 2개의 변곡점을 가짐을 알 수 있다.

== 역사 ==
아녜시의 마녀는 아녜시가 처음 발견한 것은 아니다. 이 곡선은 이미 [[피에르 드 페르마]]와 [[루이지 귀도 그란디]]({{llang|it|Luigi Guido Grandi}}, 1671–1742)에 의하여 연구된 바 있었다. 그란디는 이를 ‘곡선’을 뜻하는 단어 {{llang|it|versiera|베르시에라}}라고 불렀고, 아녜시도 저서 {{llang|it|Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana}}에서 마찬가지로 {{llang|it|versiera}}라고 불렀다.

[[존 콜슨]]({{llang|en|John Colson}})이 아녜시의 책을 영어로 번역할 때 {{llang|it|versiera|베르시에라}}를 {{llang|it|aversiera}}(적(敵), 악마 또는 마녀 [신의 적])로 혼동하여 ‘마녀’로 오역하였다. 그 뒤 이 곡선은 ‘아녜시의 마녀’로 불리게 되었다.

== 기타 ==
아녜시 탄생 296주년 기념으로 구글 doodle에 올라갔다
== 외부 링크 ==
*{{매스월드| id=WitchofAgnesi | title=Witch of Agnesi}}
*{{웹 인용|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Witch.html|제목=Witch of Agnesi|이름= John J.|성=O'Connor|공저자=Edmund F Robertson|언어=en}}

[[분류:곡선]]