쌍둥이 소수 추측 문서 원본 보기

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'''쌍둥이 소수 추측'''({{llang|en|Twin prime conjecture}})은 [[정수론]]에서 가장 유명한 추측 가운데 하나로, 다음과 같다.
: <math>p+2</math>가 [[소수 (수론)|소수]]인 소수 <math>p</math>가 무한히 존재한다.
이런 소수쌍을 [[쌍둥이 소수]]라고 부르기 때문에 이런 이름이 붙었다.

1849년 프랑스 수학자 [[알퐁스 드 폴리냐크]](Alphonse de Polignac)는 이 추측을 더 일반화시켜, 임의의 [[자연수]] k에 대해 <math>p - p' = 2k</math>를 만족하는 순서쌍 <math>(p, p')</math>가 무한히 존재한다는 추측을 만들었다. 쌍둥이 소수 추측은 k가 1일 때에 해당된다.

== 브룬의 정리 ==
1915년 노르웨이 [[수학자]] [[비고 브룬]](Viggo Brun)은 놀라운 결과를 발표했는데, 그 결과는 다음과 같다.
:쌍둥이 소수의 역수의 총합은 수렴한다.
즉, 다시 말해서, 다음 수열이 수렴한다는 의미이다.
:<math>\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots</math>
위 결과를 브룬의 정리(Brun's theorem)라고 부른다. [[조화급수]]와 마찬가지로 [[소수의 역수의 합의 발산성|소수의 역수의 총합은 발산]]하기 때문에 결국 쌍둥이 소수 자체의 밀도가 생각보다 높지 않음을 보여준다. 이 쌍둥이 소수의 역수의 총합을 [[브룬 상수]](Brun's constant)라고 부르는데 그 값은 대략 1.90216054에 근접한다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html "Brun's constant" in mathworld]</ref>
브룬의 정리를 증명하는 법은 본질적으로 [[에라토스테네스의 체]]와 [[포함배제의 원리]](Inclusion-exclusion principle)를 이용한다.

== 천의 정리 ==
[[1966년]] [[중화인민공화국|중국]]의 수학자 [[천징룬]](진경윤, {{zh-sp|s=陈景润|p=Chén Jǐng Rùn}})은 무한히 많은 소수 <math>p</math>에 대해 <math>p+2</math>가 소수이거나 거의 소수임을 증명했다. 여기서 '거의 소수'란 두 개의 소수의 곱으로 표현가능한 수를 말한다. 이 결과는 [[천의 정리]](Chen's theorem)라 부르며 [[골드바흐의 추측]]과도 밀접하게 연결되어 있다.

== 소수 간격에 관한 정리들 ==
{{본문|소수 간극}}

[[소수 정리]]에 의하면 충분히 큰 소수 p에 대해서 소수 간극이 ln(p)로 점근한다.

1940년 [[폴 에르되시]]는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다. 그러다가 2005년에는 Goldston, Pintz, Yıldırım이 c의 상한을 무한히 좁힐 수 있다는 결과, 즉 다음을 증명하였다:
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0.</math>

그러나 간격을 c ln ln p처럼 로그함수보다 느리게 증가시키는 경우에는 부등식이 성립하는지 알 수 없다.

2013년 [[장이탕]](Yitang Zhang)이 소수 간극의 [[하극한]]이 유한한 수인 70,000,000보다 작다는 것을 증명함으로써 큰 진척이 이루어졌다. 이후 Polymath Project에 의해 이 상한은 246까지 좁혀졌다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{소수}}

[[분류:소수에 관한 추측]]