쌍둥이 소수 문서 원본 보기

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수학에서 '''쌍둥이 소수'''({{lang|en|twin prime}})는 두 수의 차가 2인 [[소수 (수론)|소수(素數)]]의 쌍, 즉 (''p'', ''p''+2)이다. (2, 3)의 경우를 제외하고는 이웃한 두 [[소수 (수론)|소수]]의 차는 언제나 2 이상이다. 따라서 인접한 두 소수 간 간격이 2인 경우가 때때로 발생할 수 있음을 짐작할 수 있으며, 그 경우 두 소수의 쌍을 쌍둥이 소수라고 한다.

== 쌍둥이 소수의 표현 방식 ==
쌍둥이 소수의 기본적 표현 방식은
:<math>p\geq3 </math>이고 <math>p+2 </math>가 소수일 때, <math> (p,p+2) </math>
이다. 또한 (3, 5)를 제외한 모든 쌍둥이 소수는 (6k-1, 6k+1) 꼴로 표현된다(단, k는 양의 정수)는 성질을 가지고 있다. 따라서 이 성질을 가지고도 표현이 가능하다.

=== 증명 ===
k를 음이 아닌 정수라고 할 때, 모든 자연수는 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5, 6k+6 중 하나이다. 이중에서 소수가 아닌 것은

6k+2=2(3k+1)

6k+3=3(2k+1)

6k+4=2(3k+2)

6k+6=6(k+1)

형태의 자연수들이다. 즉, 모든 소수는 6k+1 또는 6k+5 형태이다. 6k+1 형태의 소수가 먼저이고 6k+5 형태의 소수가 나중이라면 두 소수의 차이는 4가 되므로 [[사촌 소수]]가 되지만, 6k+5 형태의 소수가 먼저라면 거기에 2를 더했을 때 6k+7=6(k+1)+1이 되어 6k+1 형태의 자연수가 되므로 (6k+5 형태의 소수, 6k+1 형태의 소수)는 유일하게 가능한 쌍둥이 소수의 쌍이 된다. 6k+5=6(k+1)-1이므로 결과적으로 모든 쌍둥이 소수는 (6k-1, 6k+1)의 형태라고 단정지을 수 있다.

유일한 반례인 (3, 5)는 3이 6k+3 형태의 소수라는 데서 비롯된다. 이 형태의 자연수는 3의 배수이므로 대부분 합성수이지만, 3만은 그 자신이므로 소수가 될 수 있어 반례를 만들어낸다.

== 가장 작은 74쌍의 쌍둥이 소수 ==
작은 순서대로의 쌍둥이 소수 74쌍은 다음과 같다.
:(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883), (1019, 1021), (1031, 1033), (1049, 1051), (1061, 1063), (1091, 1093), (1151, 1153), (1229, 1231), (1277, 1279), (1289, 1291), (1301, 1303), (1319, 1321), (1427, 1429), (1451, 1453), (1481, 1483), (1487, 1489), (1607, 1609), (1619, 1621), (1667, 1669), (1697, 1699), (1721, 1723), (1787, 1789), (1871, 1873), (1877, 1879), (1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), (2081, 2083), (2087, 2089), (2111, 2113), (2129, 2131), (2141, 2143), (2237, 2239), (2267, 2269), (2309, 2311), (2339, 2341), (2381, 2383), (2549, 2551)

== 지금까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수 ==
2016년 9월, 2개의 [[분산 컴퓨팅]] 프로젝트인 [[쌍둥이 소수 탐색]]과 [[프라임그리드]]가 현재까지 발견된 쌍둥이 소수중 가장 큰 쌍둥이 소수 <math>2996863034895\times2^{1290000}\pm1</math>를 발견했다. 십진법으로 이 소수의 자릿수는 388342이다. 발견자는 [[미국]]의 Timothy D. Winslow이다.

4.35 · 10<sup>15</sup>까지의 모든 쌍둥이 소수에 대한 경험적인 분석에 의하면 <math>x</math>보다 작은 쌍둥이 소수의 개수는 대략
:<math>\frac{x f(x)}{(\log x)^2}</math>
개이다. 여기서, <math>x</math>가 작은 수일 때 <math>f(x)</math>는 약 1.7이고, <math>x</math>가 커짐에 따라 <math>f(x)</math>는 약 1.3에 접근한다.

<math>f(x)</math>의 극한값은 [[쌍둥이 소수 상수]]의 2배인
:<math> 2 \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 1.3203236\ldots</math>
와 같다고 추측되고 있다.

이 추측이 참이라면 [[쌍둥이 소수 추측]]도 참이 되지만, 어느 쪽도 아직 해결되지 않았다고 한다.

{| class="wikitable sortable" font-size:90%
|+ '''지금까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수 11개'''
|-
! align=center | '''#'''
! align=center | '''자릿수'''
! align=center | '''쌍둥이 소수'''
! align=center | '''발견일'''
|-
|1
|388342
|<math display="inline">2996863034895\times2^{1290000}\pm1</math>
|2016년 9월
|-
| align="center" | 2
| align="center" | 200700
| align="right" | 3756801695685*2<sup>666669</sup>±1
| align="center" | 2011년 12월
|-

| align="center" | 3
| align="center" | 100355
| align="right" | 65516468355 * 2<sup>333333</sup>±1
| align="center" | 2009년 8월
|-
| align="center" | 4
| align="center" | 58711
| align="right" | 2003663613 * 2<sup>195000</sup>±1
| align="center" | 2007년 1월
|-
| align="center" | 5
| align="center" | 51780
| align="right" | 194772106074315 * 2<sup>171960</sup>±1
| align="center" | 2007년 6월
|-
| align="center" | 6
| align="center" | 51780
| align="right" | 100314512544015 * 2<sup>171960</sup>±1
| align="center" | 2006년 6월
|-
| align="center" | 7
| align="center" | 51779
| align="right" | 16869987339975 * 2<sup>171960</sup>±1
| align="center" | 2005년 9월
|-
| align="center" | 8
| align="center" | 51090
| align="right" | 33218925 * 2<sup>169690</sup>±1
| align="center" | 2002년 9월
|-
| align="center" | 9
| align="center" | 34808
| align="right" | 307259241 * 2<sup>115599</sup>±1
| align="center" | 2009년 1월
|-
| align="center" | 10
| align="center" | 34533
| align="right" | 60194061 * 2<sup>114689</sup>±1
| align="center" | 2002년 11월
|-
| align="center" | 11
| align="center" | 33222
| align="right" | 108615 * 2<sup>110342</sup>±1
| align="center" | 2008년 6월
|}

== 쌍둥이 소수 상수 ==
[[쌍둥이 소수 상수]]는 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)추측([[고드프리 해럴드 하디]]와 [[존 이든저 리틀우드]]의 이름을 따서 명명됨)으로부터의 쌍둥이 소수 추측의 일반화이다. 이것은 소수 정리(prime number theorem)와 유사하게 쌍둥이 소수(twin primes)를 포함한 소수 자리의 분포에 대한 것이다.
:<math>  \prod_{\textstyle{p\;{\rm prime}\atop p \ge 3}}  \left(1 - {{1}\over{(p-1)^2}}\right) = 0.660161815\ldots \;\; (A005597)</math>

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[사촌 소수]]
* [[소수 정리]]
* [[하디-리틀우드 추측]]

{{소수}}

[[분류:소수]]
[[분류:수론]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]