쌍대 가군 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]과 [[가군]] 이론에서, '''쌍대 가군'''(雙對加群, {{llang|en|dual module}})은 어떤 [[가군]] 또는 [[벡터 공간]] 위의 [[선형 범함수]]들로 구성된 [[가군]] 또는 [[벡터 공간]]을 말한다. 만약 스칼라환이 [[가환환]]이 아닐 경우, [[왼쪽 가군]]의 쌍대 가군은 [[오른쪽 가군]]이며, 반대로 [[오른쪽 가군]]의 쌍대 가군은 [[왼쪽 가군]]이다. 만약 스칼라환이 [[체 (수학)|체]]일 경우, 쌍대 가군은 보통 '''쌍대 공간'''(雙對空間, {{llang|en|dual space}})이라고 한다. 기호는 <math>(-)^\vee</math> 또는 (벡터 공간의 경우) <math>(-)^*</math>.

쌍대 가군의 개념은 대수적이며, 그 위의 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 고려하지 않는다. 이 때문에, [[위상 벡터 공간]]의 경우 보통 [[연속 쌍대 공간]]을 대신 사용한다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''쌍대 가군''' <math>M^\vee_R</math>은 다음과 같은 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]이다.
:<math>M^\vee_R=\hom(_RM,_RR)</math>
:<math>(fr)\colon (m\mapsto f(m)r)\qquad\forall f\in M^\vee_R,\;r\in R,\;m\in M</math>
즉, 왼쪽 <math>R</math>-[[선형 변환]]
:<math>f\colon M\to R</math>
들로 구성된 공간이다. 그 위의 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] 구조는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>(f+g)(m)=f(m)+g(m)\qquad\forall f,g\in M^\vee_R,\;m\in M</math>
:<math>(fr)(m)=f(rm)\qquad\forall f\in M^\vee_R,\;r\in R,\;m\in M</math>

마찬가지로, <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]의 쌍대 가군은 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]이다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

=== 체의 경우 ===
<math>R=K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하자. 그렇다면, 그 위의 가군 <math>V</math>는 [[벡터 공간]]이라고 불리며, 벡터 공간의 쌍대 가군은 '''(대수적) 쌍대 공간'''((代數的)雙對空間, {{llang|en|(algebraic) dual space}})이라고 불리며, 보통 <math>V^*</math>로 표기된다.

체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>의 부분 벡터 공간 <math>W\subset V</math>의 '''소멸자'''(消滅子, {{llang|en|annihilator}}) <math>W^0</math>는 다음과 같은, 쌍대 공간 <math>V^*</math>의 부분 공간이다.
:<math>W^0=\{f\in V^*\colon f(w)=0\forall w\in W\}\subset V^*</math>

=== 가군층의 경우 ===
쌍대 가군의 개념은 [[가군층]]에 대하여 일반화될 수 있다.

[[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal M</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
:<math>\mathcal M^\vee=\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)</math>
그렇다면, 다음과 같은 표준적인 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] 사상을 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal M\to\mathcal M^{\vee\vee}</math>
:<math>\left(s\in\Gamma(U;\mathcal M)\right)\mapsto \left((f\in\Gamma\left(U;\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal O_X,\mathcal M)\right)\mapsto f(s)\right)\qquad\forall U\in\operatorname{Open}(X)</math>
이를 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>M</math>의 '''쌍대 가군층'''(雙對加群層, {{llang|en|sheaf of dual modules}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 함자성 ===
임의의 환 <math>R</math>에 대하여, 쌍대 가군은 <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]](벡터 공간)과 [[가군 준동형]]([[선형 변환]])들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>_R\text{Mod}</math>에서, [[오른쪽 가군]](벡터 공간)과 [[가군 준동형]]([[선형 변환]])들의 범주 <math>\text{Mod}_R</math>의 [[반대 범주]]로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>(-)^\vee\colon {}_R\text{Mod}\to\text{Mod}_R^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다.

특히, 이중 쌍대 가군은 [[자기 함자]]
:<math>(-)^{\vee\vee}\colon {}_R\text{Mod}\to{}_R\text{Mod}</math>
를 정의한다.

=== 유한 차원 벡터 공간 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 경우, 대수적 쌍대 공간 <math>V^*</math>은 유한 차원이다. 즉, <math>^*\colon K\text{-Vect}\to K\text{-Vect}^{\operatorname{op}}</math>를 <math>^*\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}^{\operatorname{op}}</math>로 국한할 수 있다 (<math>K\text{-FinVect}</math>는 유한 차원 벡터 공간들의 범주).
또한, <math>V</math>와 그 대수적 쌍대 공간 <math>V^*</math>의 차원은 같으며, 따라서 이 둘은 서로 동형이다.
:<math>\dim V=\dim V^*</math>
:<math>V\cong V^*</math>
구체적으로, <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>B\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 쌍대 공간에 다음과 같은 기저 <math>B^*\subseteq V^*</math>를 줄 수 있으며, 이를 '''쌍대 기저'''(雙對基底, {{llang|en|dual basis}})라고 한다.
:<math>b^*(b')=\begin{cases}1&b=b'\\0&b\ne b'\end{cases}\qquad\forall b,b'\in B</math>
서로 쌍대 공간 속 벡터의 서로 쌍대 기저에 대한 좌표는 다음과 같다.
:<math>v=\sum_{b\in B}b^*(v)b</math>
:<math>f=\sum_{b\in B}f(b)b^*</math>
그러나 이는 표준적({{llang|en|canonical}})이지 않다. 범주론적으로, <math>^*\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}^{\operatorname{op}}</math>는 반변 자기 함자이므로, (공변) 자기 함자가 아니다.

반면, <math>V</math>의 이중 쌍대 공간 <math>V^{**}</math>는 <math>V</math>와 표준적으로 동형이다. 구체적으로 이러한 동형은 다음과 같다.
:<math>V\cong V^{**}</math>
:<math>v\mapsto(f\mapsto f(v))</math>
범주론적으로, 함자
:<math>^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}</math>
는 상수 함자
:<math>\operatorname{id}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}</math>
와 [[자연 동형]]이다.

부분 벡터 공간 <math>W\subset V</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\dim W^0=\dim V-\dim W</math>
:<math>V^*=W^*\oplus W^0</math>
:<math>\dim W^{00}=\dim W</math>
:<math>W\cong W^{00}</math>

=== 무한 차원 벡터 공간 ===
무한 차원의 벡터 공간 <math>V</math>의 경우, <math>V</math>의 차원은 ([[기수 (수학)|기수]]로서) 항상 <math>V^*</math>의 차원보다 더 작다.
:<math>\aleph_0\le\dim V\implies \dim V<\dim V^*</math>

상수 함자에서 이중 쌍대 공간 함자 <math>^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}</math>로 가는 [[자연 변환]] <math>\phi</math>가 존재한다.
:<math>\phi\colon\operatorname{id}\implies^{**}</math>
:<math>\phi_V\colon V\to V^{**}</math>
이 경우, <math>\phi_V</math>들은 항상 [[단사 함수]]이지만, <math>V</math>가 무한 차원일 경우 [[전사 함수]]가 아니다.

이러한 이유 때문에, 만약 <math>V</math>가 [[위상 벡터 공간]]이라면 보통 대수적 쌍대 공간 대신 [[연속 쌍대 공간]]을 사용한다.

== 같이 보기 ==
* [[반사 가군]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3판|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}
* {{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id=[[인터넷 아카이브|Internet Archive]] [https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze LinearAlge(…)]}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DualVectorSpace|title=Dual vector space}}
* {{nlab|id=dual vector space|title=Dual vector space}}
* {{웹 인용|url=http://sgovindarajan.wikidot.com/dual-vector-spaces|제목=Dual vector spaces|이름=Suresh|성=Govindarajan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2011/05/23/the-dual-of-a-module/|제목=The dual of a module|웹사이트=Project Crazy Project|날짜=2011-05-23|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://drexel28.wordpress.com/2011/11/12/dual-modules/|제목=Dual modules|웹사이트=Abstract Nonsense|이름=Alex|성=Youcis|날짜=2011-11-12|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/4590/when-are-dual-modules-free|제목=When are dual modules free?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:가군론]]