쌍곡 치환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''쌍곡 치환'''(雙曲置換, {{llang|en|hyperbolic substitution}})은 [[쌍곡선 함수]]를 이용하는 [[치환 적분]] 기법의 하나이다.

== 정의 ==
'''쌍곡 치환'''은 [[삼각 치환]]과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수 <math>R(u,v)</math> 및 <math>a>0</math>이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.<ref name="Stewart2018">{{서적 인용|성=Stewart|이름=Seán M. |제목=How to Integrate It|언어=en|출판사=Cambridge University Press|날짜=2018-02|isbn=978-1-108-41881-2|doi=10.1017/9781108291507}}</ref>{{rp|135, Table 10.1}}
{| class="wikitable"
!적분
![[삼각 치환]]
!쌍곡 치환
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\sin\theta</math>
|<math>x=a\tanh t</math>
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\tan\theta</math>
|<math>x=a\sinh t</math>
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\sec\theta</math>
|<math>x=a\cosh t</math>
|}
더 자세히는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
!적분
! colspan="4" |쌍곡 치환
!사용된 항등식
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\tanh t</math>
|<math>-\infty<t<\infty</math>
|<math>\sqrt{a^2-x^2}=a\operatorname{sech}t</math>
|<math>\mathrm dx=a\operatorname{sech}^2t\mathrm dt</math>
|<math>1-\tanh^2t=\operatorname{sech}^2t</math>
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\sinh t</math>
|<math>-\infty<t<\infty</math>
|<math>\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t</math>
|<math>\mathrm dx=a\cosh t\mathrm dt</math>
|<math>1+\sinh^2t=\cosh^2t</math>
|-
|<math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\cosh t</math> (<math>x>a</math>일 경우)
|<math>0<t<\infty</math>
|<math>\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t</math>
|<math>\mathrm dx=a\sinh t\mathrm dt</math>
|<math>\cosh^2t-1=\sinh^2t</math>
|}

== 예 ==
다음 예시는 쌍곡 치환 <math>x=a\cosh t</math>를 사용한다 (<math>a>0,\;x>a</math>).<ref name="Stewart">{{서적 인용
|성=Stewart
|이름=James
|제목=Single Variable Calculus: Early Transcendentals
|언어=en
|판=7
|출판사=Cengage Learning
|위치=Belmont, CA
|날짜=2011
|isbn=978-0-538-49867-8
|lccn=2010936598
}}</ref>{{rp|481, Example 5}}<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>{{rp|253, 例6.2.15}}
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\sinh t\mathrm dt}{a\sinh t}</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>x=a\cosh t,\;0<t<\infty,\;\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t,\;\mathrm dx=a\sinh t\mathrm dt</math> )
|-
|
|<math>=\int\mathrm dt</math>
|-
|
|<math>=t+C</math>
|-
|
|<math>=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>t=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|-\ln a</math> )
|}

다음 예시는 쌍곡 치환 <math>x=a\sinh t</math>를 사용한다 (<math>a>0</math>).<ref name="wusj" />{{rp|253, 例6.2.16}}<ref name="lizq">{{저널 인용
|저자1=李中强
|저자2=李效民
|제목=双曲函数及其在积分中的应用
|언어=zh
|저널=河南电大
|권=1994년
|호=1
|쪽=26–29
|날짜=1994
|issn=1003-1448
}}</ref>{{rp|27, 例1}}
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\cosh t\mathrm dt}{a\cosh t}</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>x=a\sinh t,\;-\infty<t<\infty,\;\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t,\;\mathrm dx=a\cosh t\mathrm dt</math> )
|-
|
|<math>=\int\mathrm dt</math>
|-
|
|<math>=t+C</math>
|-
|
|<math>=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>t=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|-\ln a</math> )
|}

다음 예시는 쌍곡 치환 <math>x=\tanh t</math>를 사용한다.<ref name="lizq" />{{rp|28, 例3}}
:{|
|<math>\int\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>
|<math>=\int\frac{\mathrm dt}{\cosh^3t}</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>x=\tanh t,\;-\infty<t<\infty,\;\sqrt{1-x^2}=\operatorname{sech}t\mathrm dx=\operatorname{sech}^2t\mathrm dt</math> )
|-
|
|<math>=\int\frac{\cosh t\mathrm dt}{\cosh^4t}</math>
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm du}{(u^2+1)^2}</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>u=\sinh t</math> )
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}-\int\frac{u^2}{(u^2+1)^2}\mathrm du</math>
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\int u\mathrm d\frac 1{u^2+1}</math>
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\frac u{u^2+1}-\frac 12\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}</math>
|-
|
|<math>=\frac 12\arctan u+\frac 12\frac u{u^2+1}+C</math>
|-
|
|<math>=\frac 12\arctan\frac x{\sqrt{1-x^2}}+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |( <math>\sinh t=\frac{\tanh t}{\sqrt{1-\tanh^2t}}</math> )
|-
|
|<math>=\frac 12\arcsin x+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C</math>
|}

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

== 응용 ==
쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다.
:<math>\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx</math>
여기서 <math>m,n</math>은 정수이며, <math>m+n</math>은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.<ref name="Viertel">{{저널 인용
|성=Viertel
|이름=William K.
|제목=Use of Hyperbolic Substitution for Certain Trigonometric Integrals
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-05_38_3/page/n18
|언어=en
|저널=Mathematics Magazine
|권=38
|호=3
|쪽=141-144
|날짜=1965
|doi=10.2307/2688773
|issn=0025-570X
|mr=1571522
|jstor=2688773
}}</ref>{{rp|141}}
{| class="wikitable"
!적분
! colspan="3" |쌍곡 치환
|-
| rowspan="2" |<math>\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx
&=\int\sec^{-(m+n)}x\tan^nx\mathrm dx\\
&=\int\cot^mx\csc^{-(m+n)}x\mathrm dx
\end{align}</math>
|<math>\tan x=\sinh t</math>
|<math>\sec x=\cosh t</math> (<math>-\pi/2<x<\pi/2</math>일 경우)
|<math>\mathrm dx=\operatorname{sech}t\mathrm dt</math>
|-
|<math>\cot x=\sinh t</math>
|<math>\csc x=\cosh t</math> (<math>0<x<\pi/2</math>일 경우)
|<math>\mathrm dx=-\operatorname{sech}t\mathrm dt</math>
|}
첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.<ref name="Viertel" />{{rp|142, Example 1}}
:<math>\begin{align}\int\sec x\mathrm dx
&=\int\cosh t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\
&=\int\mathrm dt\\
&=t+C\\
&=\ln(\cosh t+\sinh t)+C\\
&=\ln(\sec x+\tan x)+C
\end{align}</math>
두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.<ref name="Viertel" />{{rp|142, Example 2}}
:<math>\begin{align}\int\csc^3x\mathrm dx
&=-\int\cosh^3t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\
&=-\int\cosh^2t\mathrm dt\\
&=-\frac 12\int(1+\cosh 2t)\mathrm dt\\
&=-\frac 12t-\frac 14\sinh 2t\\
&=-\frac 12\ln(\cosh t+\sinh t)-\frac 12\sinh t\cosh t\\
&=-\frac 12\ln(\csc x+\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\\
&=\frac 12\ln(\csc x-\cot x)-\frac 12\cot x\csc x
\end{align}</math>
일부 저서에서는 이를 '''건서 쌍곡 치환'''(-雙曲置換, {{llang|en|Gunther's hyperbolic substitutions}})이라고 부른다.<ref name="Stewart2018" />{{rp|142, Exercise 11}} 이 방법은 찰스 건서({{llang|en|Charles O. Gunther}})가 《삼각 및 허수 치환 적분》({{llang|en|Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions}})이라는 교재에서 처음 공개하였다.<ref name="Stewart2018" />{{rp|143, Endnote 1}}<ref name="Gunther">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/integrationbytri00gunt
|성1=Gunther
|이름1=Charles O.
|성2=Webb
|이름2=J. Burkitt
|제목=Integration by trigonometric and imaginary substitution
|언어=en
|출판사=D. Van Nostrand company
|위치=New York
|날짜=1907
|lccn=07040021
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스 치환#쌍곡선 함수의 경우]]
* [[삼각 치환]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HyperbolicSubstitution|title=Hyperbolic substitution}}

[[분류:적분학]]