쌍곡 좌표계 문서 원본 보기

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[[파일:Hyperbolic coordinates.svg|섬네일|400px|right|오일러 평면에 나타낸 쌍곡 좌표계: 같은 파란색 직선에 있는 모든 점은 같은 좌표값 ''u''를 공유하고, 같은 빨간색 쌍곡선에 있는 모든 점은 같은 좌표값 ''v''를 공유한다.]]

[[수학]]에서 '''쌍곡 좌표계'''({{llang|en|hyperbolic coordinates}})는 [[데카르트 좌표 평면]]의 제 1사분면에 있는 점들을 위치시키는 방법이다.

:<math>\{(x, y) \ :\  x > 0,\ y > 0\ \} = Q</math>.

쌍곡 좌표계는 다음과 같이 정의된 [[쌍곡면]]의 값을 가진다:

:<math>HP = \{(u, v) : u \in \mathbb{R}, v > 0 \}</math>.

''HP''에 있는 이 좌표계는 ''Q''에 있는 정비례의 [[로그 측도|로그]] 비교 연구와 정비례의 편차<!--deviations--> 측정 연구에서 유용하다.

<math>Q</math>에 있는 <math>(x,y)</math>에 대해서 {{math|u}}와 {{math|v}}는 다음과 같다:

:<math>u = \ln \sqrt{\frac{x}{y}}</math>

:<math>v = \sqrt{xy}</math>

매개변수 ''u''는 (''x, y'')의 [[쌍곡선각]]이고 ''v''는 ''x''와 ''y''의 [[기하 평균]]이다.

역 변환은 다음과 같다:

:<math>x = v e^u ,\quad y = v e^{-u}</math>.

함수 <math>Q \rarr HP</math>는 [[연속 함수]]지만 [[해석 함수]]는 아니다.

== 다른 사분면 측도 ==
''HP''는 [[쌍곡 기하학]]의 [[푸앵카레 반평면 모델]]의 [[측도 공간]] 구조를 가져오기 때문에, 전단사 대응 <math>Q \leftrightarrow HP</math>는 이 구조를 ''Q''로 가져온다. [[쌍곡 이동]]의 표기법을 통해서 쓸 수 있다. ''HP''에 있는 [[측지선]]은 경계를 중심으로 하는 반원이기 때문에, ''Q''에 있는 측지선은 대응점에서 얻을 수 있고 윈점에서 출발하는 [[직선#반직선|반직선]]이나 원점에서 떠나고 원점으로 재진입하는 [[꽃잎]] 모양의 [[곡선]]으로 바뀐다. 좌우 이동<!--left-right shift-->으로 주어진 ''HP''의 쌍곡 이동은 ''Q''에 [[누름 변환]]<!--squeeze mapping-->을 적용시킨 것에 대응한다.

''Q''에 있는 [[쌍곡선]]은 ''HP''의 경계에 평행한 직선에 대응하기 때문에, ''Q''의 측도 기하학<!--metric geometry-->에서는 [[호로사이클]]({{llang|en|horocycle}})이다.

평면의 [[유클리드 위상]]과 ''Q''를 상속받은 위상만을 고려하면, ''Q''에 제한된 직선은 ''Q''에 가까워 보인다. 측도 공간 ''HP''에서 보면 [[열린 집합]] ''Q''가 경계로 대응하는 [[원점]]을 유일하게 가진다는 것을 나타낸다. 실제로 ''HP''의 경계 ''R''과 수직인 반직선인 ''Q''의 원점에서 나가는 반직선과 그 이미지를 생각하라. ''HP''에 있는 어떤 점이든지 ''R''의 수직선의 최하부에 있는 점 ''p''에 대해서 무한한 거리를 가지지만, 이 수직선에 있는 점의 수열은 ''p''의 방향으로 나아가는 경향이 있을 수 있다. ''Q''에 있는 대응하는 수열은 원점을 향하는 반직선을 따르는 경향이 있다. ''Q''의 고전 유클리드 경계는 더 이상 관련이 없다.

== 물리학의 적용 ==
기본 물리학적 변수는 종종 ''k'' = ''x y''의 형태의 방정식에 관여된다. 예를 들면, ''V'' = ''I R'' ([[옴의 법칙]]), ''P'' = ''V I'' ([[전력]]), ''P V'' = ''k T'' ([[이상기체 법칙]]), 그리고 ''f'' λ = ''v'' (파동에서 [[파장]], [[주파수]], 그리고 속도의 관계)가 있다. ''k''가 상수일 경우, 다른 변수는 적절한 ''Q'' 사분면의 [[호로사이클]]인 쌍곡선에 있다.

예를 들어, [[열역학]]에서 [[등온과정]]은 명시적으로 쌍곡선 궤적을 따르고 [[일 (열역학)|일]]은 쌍곡선각의 변화로 해석할 수 있다. 비슷하게, 부피가 변하는 기체의 질량 ''M''이 주어졌을 때 밀도 &delta; = ''M / V''이고, 이상기체 법칙은 ''P = k T'' &delta;로 쓸 수 있어서 [[등적과정]] 궤적은 절대온도와 기체 밀도의 사분면의 쌍곡선이다.

[[상대성 이론]]에서의 쌍곡 좌표계에 대해서는 [[#역사|역사]] 문단을 참고하라.

== 통계적 적용 ==
* 사분면에서 [[인구 밀도]]의 비교 연구는 참조 국가, 지역, 또는 [[도시 밀도|도시]] 영역의 인구와 면적을 점 (1,1)로 설정하는 것에서 시작한다.
* [[간접 민주제]]인 지역의 [[입법자|선출된 대표]]의 분석은 비교를 위한 표준을 설정하는 것이다: 규모와 (대리인의) 슬레이트 규모가 사분면의 (1,1)에 있는 특정 대표 그룹이다.

== 경제학적 적용 ==
[[경제학]]에서 쌍곡 좌표계의 필연적인 적용이 있다:
* 통화 [[환율]] 변동의 해석:
단위 통화를 <math>x = 1</math>로 둔다. 가격 통화는 <math>y</math>에 대응한다. <math>0 < y < 1</math>일 때, 양의 쌍곡선각 <math>u > 0</math>를 찾는다. ''변동''에 대해서 사로운 가격을 잡는다:

:<math>0 < z < y</math>.

그러면 ''u''의 변화는 다음과 같다:

:<math>\Delta u = \ln \sqrt{\frac{y}{z}} </math>.

환율 변동을 쌍곡선각으로 정량화하는 것은 객관적이고 대팅적이며 일관적인 [[측도]]를 제공한다. <math>\Delta u</math>는 통화 변동의 쌍곡 이동의 수평 이동 거리이다.
* [[장바구니]] 가격의 인플레이션이나 디플레이션의 해석.
* [[복점]]에서 시장점유율의 변화의 정량화.
* 회사 [[주식 분할]] 대 자사주매입.

== 역사 ==
The [[기하 평균]]은 오래된 개념이지만 [[쌍곡선각]]이 이 개념에서 [[그레고이르 드 세인트 빈센트]](G. de Saint-Vincent)에 의해 만들어졌다. 그는 직각 쌍곡선 ''y'' = 1/''x''에 대해서 [[구적법]]을 하려고 시도하던 중이였다. 이 문제는 [[아르키메데스]]가 [[포물선의 구적법]]을 풀기 전 까지는 [[미해결 문제]]로 남아있었다. [[단위 정사각형]]에서 [[원점]]의 반대쪽에 있는 (1,1)을 지난다. 곡선의 다른 점은 이 정사각형과 면적이 같은 직사각형으로 볼 수 있다. 이런 직사각형은 정사각형에 [[누름 변환]]을 가해서 얻을 수 있다. 이런 변환을 보기 위한 방법은 [[쌍곡선 영역]]<!--hyperbolic sector-->을 통한 것이다. [[레온하르트 오일러]]의 ''[[Introduction to the Analysis of the Infinite]]'' (1748)에 따라 단위 면적의 쌍곡선 영역은 (1,1)에서 시작해서 (e, 1/e)에서 끝나고, 이 때 [[자연로그의 밑|e]]는 2.71828...이다.

(e, 1/e)을 단위 면적을 가지는 직사각형의 꼭짓점으로 두고, 단위 정사각형을 그 사각형으로 만드는 누름 변환을 다시 적용 시키면 <math>(e^2, \ e^{-2})</math>을 얻는다. 일반적으로 누름 변환을 n번 적용하면 <math>(e^n, \ e^{-n})</math>을 얻는다. [[알퐁스 안토니오 드 사라사]](A. A. de Sarasa)는 그레고이르 드 세인트 빈센트의 발견과 유사하게 [[기하수열]]에서 가로 좌표가 늘어남에 따라 쌍곡선의 면적의 합은 [[등차수열]]로 증가하고, 이 특성은 곱셈을 덧셈으로 줄여주는 '''로그'''에 대응한다는 발견을 했다. 오일러의 작업은 [[자연로그]]를 표준 수학적 도구로, 그리고 고등 수학을 [[초월 함수]]의 영역으로 만들었다. 쌍곡 좌표계는 쌍곡선의 구적법을 제공하고 [[대수함수]]의 한계를 초월한 그레고이르 드 세인트 빈센트의 원본 그림을 기반으로 한다.

[[특수 상대성이론]]에서 관심은 주어진 [[고유시간]] 이후에 다양한 속도로 도달할 수 있는 미래 시공간의 3차원 [[초표면]]에 있다. 월터 스콧<ref>Walter (1999) page 6</ref> 은 1907년 11월에 [[헤르만 민코프스키]]가 Göttingen Mathematical Society에서 이야기 하던 중에 사차원이 아니라 잘 알려진 삼차원 쌍곡 기하학을 언급했다고 설명한다.<ref>Walter (1999) page 8</ref> 표준 입문 우주단위 상대성 이론에 대한 교과서<!--a standard introductory university-level textbook on relativity-->의 저자인 [[볼프강 린들러]]에 대한 경의를 표하며, 시공간의 쌍곡 좌표계는 [[린들러 좌표계]]라고 부른다.

== 참고 문헌 ==
<references/>
* David Betounes (2001) ''Differential Equations: Theory and Applications'', page 254, Springer-TELOS, {{ISBN|0-387-95140-7}} .
* Scott Walter (1999). [http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity"] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20131016142709/http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf}}. Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), ''The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930'', pp.&nbsp;91–127. [[Oxford University Press]]. {{ISBN|0-19-850088-2}}.

[[분류:좌표계]]
[[분류:쌍곡기하학]]