쌍곡선 궤도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:OrbitalEccentricityDemo.svg|섬네일|파란 선이 쌍곡선 궤도를 나타낸다.]]
[[파일:Gravity Wells Potential Plus Kinetic Energy - Circle-Ellipse-Parabola-Hyperbola.png|섬네일|250px|그림에서 "우물"의 깊이는 [[위치 에너지]]를 나타내고, 궤도의 [[운동 에너지]]는 빨간색으로 표시되어 있다. 쌍곡선 궤도는 그림의 오른쪽 아래에 표시되어 있다.]]

[[천체물리학]] 및 [[궤도역학]]에서 '''쌍곡선 궤도'''({{llang|en|hyperbolic orbit}}) 또는 '''쌍곡선 궤적'''({{Llang|en|hyperbolic trajectory}})<ref group="참조">[[궤도]]의 정의(다른 물체 주위를 '''도는''' 현상)에 따라, 엄밀히는 쌍곡선 궤적이 올바른 표현이나, 이 문서에서는 통용되는 표기를 따랐다.</ref>은 어떠한 천체를 탈출하기 위해 필요한 [[탈출 속도]]보다 더 빠른 속도로 궤도 [[중심체 (물리학)|중심체]]를 탈출하는 물체의 궤도이다. 수학적으로는 [[궤도 이심률]]이 1보다 큰 궤도로 정의된다. 이름은 [[아이작 뉴턴]]의 [[만유인력의 법칙]]에서 유도된 것으로, 위와 같은 궤도의 모양은 [[쌍곡선]]이 된다는 것에서 유래하였다.

일반적으로, 중심체의 [[탈출 속도]]를 넘어 쌍곡선 궤도를 따르는 물체는 영원히 움직이리라 여겨지며, 쌍곡선 궤도는 [[포물선 궤도]]처럼 [[탈출 궤도]]이다. 쌍곡선 궤도의 [[고유 궤도 에너지]]의 값은 양수이다.

우주 탐사선의 [[스윙바이]] 또한 쌍곡선 궤도로 설명할 수 있다.

== 쌍곡선 궤도를 설명하는 변수 ==
[[타원]] 궤도처럼, 쌍곡선 궤도는 (앞의 정의를 무시하고) 궤도의 장축단과 이심률로 정의될 수 있다. 하지만 쌍곡선 궤도에서는 다른 변수들이 물체의 운동을 서술하기 더 적합한 경우도 있다. 다음 표는 쌍곡선 궤도를 따르는 물체를 서술하는 주요 변수들을 공식과 함께 나타낸 것이다.

{| class="wikitable"
|-
|+ 쌍곡선 궤도 변수
! 변수!! 기호!! 공식!! <math>v_\infty</math>(또는 <math>a</math>)와 <math>b</math>를 사용
|-
| [[표준 중력 변수]] || |<math>\mu\,</math> || <math>\frac{v^2}{(2/r-1/a)}</math> || <math>b v_\infty^2 \cot \theta_\infty </math>
|-
| [[궤도 이심률|이심률]] (>1) || <math>e</math> || <math>\frac{\ell}{r_p} -1 </math>|| <math>\sqrt{1+b^2/a^2}</math>
|-
| [[긴반지름]] (<0)|| <math>a\,\!</math> || <math>1/(2/r-v^2/\mu)</math>|| <math>-\mu/v_\infty^2</math>
|-
| 쌍곡선 초과 속도 || <math>v_\infty</math> || <math>\sqrt{-\mu/a}</math> ||
|-
| 점근선 간의 (외부) 각도 || <math>2\theta_\infty</math> || <math>2 \cos^{-1}(-1/e)</math> || <math>\pi + 2 \tan^{-1}(b/a)</math>
|- 
| [[충돌 변수]] ([[장반경]]) || <math>b</math> || <math> -a \sqrt{e^2-1}</math> || <math></math>
|-
| 반통경<ref group="참조">타원의 초점에서 주축(major axis)에 수직이 되게 곡선까지 잰 거리</ref> || <math>\ell</math> || <math>a (e^2 - 1)</math> || <math> b^2/a = h^2/\mu</math>
|- 
| 근지점 거리 || <math>r_p</math> ||<math>a(e-1)</math> || <math>\sqrt{a^2+b^2}+a</math>
|-
| 고유 궤도 에너지 || <math>\varepsilon</math> || <math>-\mu/2a</math> ||<math>v_\infty^2/2</math>
|-
| 특정 각운동량 || <math>h</math> || <math>\sqrt{\mu  \ell}</math> || <math>b v_\infty</math>
|}

===긴반지름, 에너지 및 쌍곡선 탈출 속도===
궤도 긴반지름(<math>a\,\!</math>)은 쌍곡선 궤도에서 가시적으로 보이진 않지만, 궤도 근점으로부터 두 [[점근선]]이 만나는 곳까지의 거리로 정의될 수 있다. 일반적으로 이 값은 음수인데, 이는 다양한 [[타원 궤도]] 방정식에 대하여 일관성을 유지하기 위한 것이다.

궤도 긴반지름은 [[고유 궤도 에너지]](<math>\epsilon\,</math>)나 궤도의 [[특성 에너지]](<math>C_3</math>)와 직접적인 연관이 있고, 천체의 궤도 원점이 무한이 될 때를 쌍곡선 초과 속도(<math>v_\infty\,\!</math>)라고 한다.
:<math>v_{\infty}^2=2\epsilon=C_3=-\mu/a</math>  or <math>a=-{\mu/{v_\infty^2}}</math>
여기서 <math>\mu</math>는 [[표준 중력 변수]]이다.

참고로, 쌍곡선 궤도에서의 총 에너지량은 양수이다(타원 궤도의 경우에는 음수이다).

=== 이심률과 접근 및 탈출 때의 각도===
쌍곡선 궤도에서 [[궤도 이심률]] <math>e\,</math>는 1보다 크고, 이심률은 [[점근선]]간 각도에 직접적으로 연관되어 있다. 이심률이 1보다 약간 클 때는 궤도가 각진 "V" 모양이다. <math>e=\sqrt 2</math>일 때는 점근선간 각도가 직각이고, <math>e>2</math>일 때는 점근선 사이의 각도는 120°가 넘어가며, 궤도 근점의 거리가 궤도 긴반지름보다 커진다. 이심률이 커질수록 궤도는 직선에 가까워진다.

궤도 중심체의 점근선과 근점 방향 사이의 각도는 거리가 무한대가 될 때의 [[진근점 이각]](<math>\theta_\infty\,</math>)으로, 따라서 <math>2\theta_\infty\,</math>는 접근 방향과 탈출 방향 간의 외부 각도이고, 따라서 식은 다음과 같다.

:<math>\theta{_\infty}=\cos^{-1}(-1/e)\,</math> 또는 <math>e=-1/\cos\theta{_\infty}\,</math>
[[파일:Hyperbolic trajectories with different impact parameters.png|섬네일|upright=1.5|각각 쌍곡선 초과 속도와 궤도 긴반지름이 같고 같은 방향에서 오지만, 충돌 변수와 궤도 이심률이 다른 물체들의 궤도를 나타낸 그림.]]
:

==운동에 관한 방정식==

===위치===

쌍곡선 궤도에서는 [[진근점 이각]](<math>\theta</math>)이 궤도 방정식을 통해 두 [[물체]] 사이의 거리(<math>r\,</math>)와 관련지어진다.

:<math>r = \frac{\ell}{1 + e\cdot\cos\theta}</math>

진근점 이각 ''θ''와 [[편심 이각]] ''E'' 사이의 관계는 다음과 같다.

:<math>\cosh{E} = {{\cos{\theta} - e} \over {1 - e \cdot \cos{\theta}}} </math> &nbsp;  또는 &nbsp; &nbsp; <math> \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tanh \frac{E}{2}</math>

편심 이각 ''E''는 케플러 방정식에 따라 [[평균 근점 이각]] ''M''과 다음과 같은 관계가 있다.

:<math> M = e \sinh E - E </math>

또한 평균 근점 이각은 시간과 비례한다.

:<math>M=\sqrt{\frac{\mu}{-a^3}}.(t-\tau)</math>

여기서 ''μ''는 [[표준 중력 변수]]이고, ''a''는 궤도 [[긴반지름]]이다.

===비행 경로각===
비행 경로각 ''φ''는 속도의 방향과 반경 방향에 수직한 방향 사이의 각도로, 근점에서는 0이 되고 90도는 무한대를 가리킨다.
:<math>\tan(\phi) = \frac{e\cdot\sin\theta}{1 + e\cdot \cos\theta}</math>

===속도===
쌍곡선 궤도에서의 궤도 속도 <math>v\,</math>는 [[활력방정식]]을 통해서 계산될 수 있다.
:<math>v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}</math>
*<math>\mu\,</math>는 [[표준 중력 변수]]이다.
*<math>r\,</math>은 중심체에서 궤도를 도는 물체가 떨어진 거리이다.
*<math>a\,\!</math>는 [[긴반지름]]으로, 음수이다.

일반적인 추정에 따라, 궤도의 어느 지점에서나 궤도 속도(<math>v\,</math>), [[탈출 속도]](<math>{v_{esc}}\,</math>), 쌍곡선 초과 속도(<math>v_\infty\,\!</math>) 사이의 관계는 성립한다.
:<math>v^2={v_{esc}}^2+{v_\infty}^2</math>

==상대론에서의 이체 문제==
[[일반 상대성이론]]의 [[이체 문제]]에서는, 탈출에 충분한 에너지를 가져 탈출하는 물체들의 궤도는 더 이상 쌍곡선 모양이 아니다. 하지만, 탈출하는 물체들의 궤적은 여전히 "쌍곡선 궤도"라고 불린다.

== 같이 보기 ==
* [[쌍곡선]]
* [[궤도]]
* [[케플러 궤도]]

== 각주 ==
;내용주
<references group="참조"/>

;참조주
{{각주}}
{{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용|last=Vallado |first=David A. |title=Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Third Edition |date=2007 |isbn=978-1-881883-14-2 |publisher=Hawthorne Press |location=Hawthorne, CA.}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20120204054322/http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#hyperbolic Basic of Space Flight: Orbital Mechanics]

{{궤도}}

[[분류:궤도]]