쌍곡선 문서 원본 보기

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[[파일:Drini-conjugatehyperbolas.png|섬네일|쌍곡선]]

'''쌍곡선'''(雙曲線, {{llang|en|hyperbola}})은 [[평면]] 위에 있는 두 정점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선을 말한다. 이때 기준이 되는 두 정점을 [[초점]]이라 한다.

한초점이 극히 멀어질수록 쌍곡선은 [[포물선]]에 가까워진다. 한편 쌍곡선은 초점에서 멀어질수록 [[점근선]]이라고 불리는 [[직선]]에 가까워지며, 쌍곡선의 [[점근선]]은 두 개가 있다.

== 직교 좌표계상의 성질 ==
[[파일:Hyperbola properties.svg|right|frame| 쌍곡선은 두 개의 빨간색으로 나타낸 곡선을 말한다. 파란 점선으로 그려진 직선을 쌍곡선의 점근선(asymptotes)이라하며, 두 점근선은 쌍곡선의 중심 “C”에서 만난다. 두 초점은 각각  '''F'''<sub>1</sub> 과 '''F'''<sub>2</sub>로 표시하였고, 이 두 초점을 연결하는 얇은 검은색 직선을 횡단축(traverse axis)이라 한다. 횡단축과 수직이며 쌍곡선의 중심을 지나는 검은색 얇은 직선을 켤레축(conjugate axis)이라 한다. 켤레축에 나란한(횡단축에 수직인) 두 개의 검은색 두꺼운 직선을 주선(directrices)라고 하며, 각각  ''D''<sub>1</sub>과  ''D''<sub>2</sub>로 표시되었다. 이심율(eccentricity) ''e''는 쌍곡선 위의 한 점 '''P'''로부터, 한 초점까지의 거리와 주선까지의 거리의 비(녹색선 참고)와 같다. 두 꼭짓점은 각각 횡단축의 중심으로부터 ±’’a’’ 만큼 떨어져 있다. 다음은 변수들에 대한 설명이다:<br>
 ''a'' — 중심 ‘’C’’로부터 꼭짓점 까지의 거리 <br>
 ''b'' — 꼭짓점에서 횡단축에 수직하게 점근선까지 그은 선분의 길이<br>
 ''c'' — 중심 ‘’C’’에서 초점, '''F'''<sub>1</sub> 또는 '''F'''<sub>2</sub>까지의 거리 <br>
 θ — 점근선과 횡단축이 이루는 각.]]

초점이 <math>x</math>축 위에 있고, 원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선은 [[직교 좌표계]]로 표현하면 다음과 같은 식이 된다.
:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
여기서 <math>a, b</math>는 고정된 상수값이다.
<math>\textstyle c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>일 때, 초점의 좌표는 다음과 같다.
:<math>(-c,0), (c,0)</math>
쌍곡선의 [[이심률]](Eccentricity)은 다음과 같이 정의된다.
:<math>\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}</math>
쌍곡선의 점근선은 다음과 같게 된다.
:<math>y = \pm \frac{b}{a} x</math>
즉, 두 개의 직선이 된다.

이와 별도로, 두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현가능하다.
:<math>xy=k</math>
이 때, <math>k</math>는 고정된 상수이다.

==쌍곡선과 이차 방정식==
쌍곡선은 직교좌표계에서 이차방정식
:<math>
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
</math>
을 이용하여 정의할 수도 있다. 위의 이차 방정식의 계수
''A''<sub>''xx''</sub>, ''A''<sub>''xy''</sub>, ''A''<sub>''yy''</sub>, ''B''<sub>''x''</sub>, ''B''<sub>''y''</sub>, and ''C'' 가

:<math>
D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,
</math>
를 만족하면 위의 이차방정식은 쌍곡선을 나타낸다. 쌍곡선의 특별한 형태로 “퇴화 쌍곡선(degenerate hyperbola)를 들 수 있다.

퇴화 쌍곡선은 교차하는 두 직선으로 이루어지며, 위의 이차방정식의 계수를 원으로 하는 아래의 행렬식이
:<math>
\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} = 0
</math>
을 만족하면 위의 이차 방정식은 퇴화 쌍곡선을 나타낸다.
위의 행렬식  Δ를 원뿔곡선의 [[판별식]]이라 부르기도 한다.<ref>Korn, Granino A. and Korn, Theresa M.  ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review'', Dover Publ., second edition, 2000: p. 40.</ref>

쌍곡선의 중심 (''x''<sub>''c''</sub>, ''y''<sub>''c''</sub>)은 식

:<math>
x_{c} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} B_{x} & A_{xy} \\B_{y} & A_{yy} \end{vmatrix}
</math>

:<math>
y_{c} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} A_{xx} & B_{x} \\A_{xy} & B_{y} \end{vmatrix}
</math>
에 의해 구할 수 있다.

쌍곡선의 중심이 원점이 되도록 평행이동하여 얻은 새로운 좌표계, {{nowrap|ξ {{=}} ''x'' &minus; ''x''<sub>''c''</sub>}} and {{nowrap|η {{=}} ''y'' &minus; ''y''<sub>''c''</sub>}}를 이용하여 쌍곡선의 방정식은

:<math>
A_{xx} \xi^{2} + 2A_{xy} \xi\eta + A_{yy} \eta^{2} + \frac{\Delta}{D} = 0
</math>

로 쓸 수 있다. 쌍곡선의 주축은 양의  ‘’x’’-축과 Φ의 각을 이룬다. 여기서 Φ는 다음과 같이 구할 수 있다.

:<math>
\tan 2\Phi = \frac{2A_{xy}}{A_{xx} - A_{yy}}
</math>

좌표축을 회전하여  ‘’x’’-축이 횡단축과 일치하도록 하면 앞의 이차방정식은 쌍곡선의 표준형 방정식

:<math>
\frac{{x}^{2}}{a^{2}} - \frac{{y}^{2}}{b^{2}} = 1
</math>

으로 바꿀 수 있다.

== 기하학적 성질 ==
[[파일:Hyperbel-def-e.svg|섬네일|쌍곡선 위의 모든 점은 두 초점과의 거리의 차가 일정하다.]]
다음은 직교 좌표계에서 어렵지 않게 증명가능하다.
* 쌍곡선 위의 모든 점은 두 초점과의 거리의 차가 일정하다.
* 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에 반사되면 다른 초점에서 나온 빛처럼 보인다.
* 쌍곡선 위의 점에서 점근선에 수선의 발을 내리면 그 길이의 곱은 일정하다.
* 쌍곡선 위의 한 점을 지나며 두 점근선에 평행한 두 개의 직선과 두 점근선으로 이루어진 평행사변형의 면적은 일정하다.
* 초점이 일치하는 쌍곡선과 [[타원]]은 교점에서 각각의 접선이 수직이다.

== 접선의 방정식 ==
쌍곡선 <math>\textstyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math> 위의 한 점 <math>(x_1 , y_1)</math>에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
:<math>\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1</math>
또한, 기울기 <math>m</math>이 주어질 때의 접선의 방정식은 다음과 같다.
:<math>y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}</math>

== 참조 ==
<references />

{{원뿔 곡선}}

{{전거 통제}}

[[분류:원뿔 곡선]]
[[분류:해석기하학]]