쌍가군 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''쌍가군'''(雙加群, {{llang|en|bimodule|바이모듈}})은 [[왼쪽 가군]]과 [[오른쪽 가군]]의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 [[결합 법칙]]을 만족시키는 [[대수 구조]]이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>와 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''<math>(R,S)</math>-쌍가군'''({{llang|en|<math>(R,S)</math>-bimodule}}) <math>_RM_S</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[아벨 군]] <math>(M,+)</math>
* <math>M</math> 위의 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 구조 <math>_RM</math>
* <math>M</math> 위의 <math>S</math>-[[오른쪽 가군]] 구조 <math>M_S</math>
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>r\in R</math>, <math>s\in S</math>, <math>m\in M</math>에 대하여, <math>(rm)s=r(ms)</math>

보다 일반적으로, [[가환환]] <math>K</math>와 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] <math>R</math>와 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''<math>(K;R,S)</math>-쌍가군''' <math>_RM_S</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[아벨 군]] <math>(M,+)</math>
* <math>M</math> 위의 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 구조 <math>_RM</math>
* <math>M</math> 위의 <math>S</math>-[[오른쪽 가군]] 구조 <math>M_S</math>
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>r\in R</math>, <math>s\in S</math>, <math>m\in M</math>에 대하여, <math>(rm)s=r(ms)</math>
* 모든 <math>k\in K</math>에 대하여, <math>km=mk</math>
<math>(R,S)</math>-쌍가군은 <math>K=\mathbb Z</math>일 때 <math>(\mathbb Z;R,S)</math>-쌍가군의 개념과 같다.

두 <math>(K;R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math>, <math>_RN_S</math> 사이의 '''쌍가군 준동형'''({{llang|en|bimodule homomorphism}}) <math>\phi\colon M\to N</math>은 다음 조건들을 만족시키는 [[아벨 군]] [[군 준동형|준동형]]이다.
* <math>\phi</math>는 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 [[가군 준동형]]을 이룬다. 즉, <math>r\phi(m)=\phi(rm)\;\forall r\in R,\;m\in M</math>이다.
* <math>\phi</math>는 <math>S</math>-[[오른쪽 가군]]의 [[가군 준동형]]을 이룬다. 즉, <math>\phi(m)s=\phi(ms)\;\forall s\in S,\;m\in M</math>이다.

== 성질 ==
=== 가군과의 관계 ===
다음 네 개념들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(K;R,S)</math>-쌍가군
* <math>(K;S^{\operatorname{op}},R^{\operatorname{op}})</math>-쌍가군
* <math>R\otimes_KS^{\operatorname{op}}</math>-[[왼쪽 가군]]
* <math>R^{\operatorname{op}}\otimes_KS</math>-[[오른쪽 가군]]
(여기서 <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>는 [[반대환]]을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 [[동치]]이다.
* [[아벨 군]]
* <math>\mathbb Z</math>-[[가군]]
* <math>(\mathbb Z,\mathbb Z)</math>-쌍가군

환 <math>R</math>에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]
* <math>R^{\operatorname{op}}</math>-[[오른쪽 가군]]
* <math>(R,\mathbb Z)</math>-쌍가군
* <math>(\mathbb Z,R^{\operatorname{op}})</math>-쌍가군

환 <math>R</math>에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]
* <math>R^{\operatorname{op}}</math>-[[왼쪽 가군]]
* <math>(\mathbb Z,R)</math>-쌍가군
* <math>(R^{\operatorname{op}},\mathbb Z)</math>-쌍가군

[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>-[[가군]]
* <math>(R;R,R)</math>-쌍가군
* <math>(\mathbb Z,R)</math>-쌍가군
* <math>(R,\mathbb Z)</math>-쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 [[동치]]이다. 예를 들어, <math>(K;R,S)</math>-쌍가군 준동형은 <math>R\otimes_KS^{\operatorname{op}}</math>-[[왼쪽 가군]]의 [[가군 준동형]]과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 <math>R</math>에 대하여, 모든 <math>R</math>-[[가군]] (즉, <math>(R;R,R)</math>-쌍가군)은 망각을 통하여 <math>(\mathbb Z;R,R)</math>-쌍가군을 이루지만, 일반적으로 <math>(R;R,R)</math>-쌍가군이 아닌 <math>(\mathbb Z;R,R)</math>-쌍가군이 존재한다.

=== 텐서곱 가군과 준동형 가군 ===
<math>(R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math> 및 <math>(S,T)</math>-쌍가군 <math>_SN_T</math>이 주어졌을 때, [[텐서곱]]
:<math>_RM\otimes_SN_T</math>
은 자연스럽게 <math>(R,T)</math>-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 [[가법 함자]]
:<math>(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}_T\to{}_R\operatorname{Mod}_T</math>
:<math>(-\otimes_SN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to{}_R\operatorname{Mod}_T</math>
를 정의한다.

또한, <math>(R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math> 및 <math>(R,T)</math>-쌍가군 <math>_RN_T</math>가 주어졌을 때, [[왼쪽 가군]] 준동형군
:<math>\hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)</math>
은
:<math>(sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad\forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)</math>
를 통해 <math>(S,T)</math>-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 [[가법 함자]]
:<math>\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}_T\to {}_S\operatorname{Mod}_T</math>
:<math>\hom_R(-,{}_RN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_S\operatorname{Mod}_T^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다. 반대로, [[오른쪽 가군]] 준동형을 사용한다면 <math>(R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math> 및 <math>(T,S)</math>-쌍가군 <math>_TN_S</math>가 주어졌을 때, 준동형군
:<math>\hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)</math>
은
:<math>(tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad\forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)</math>
를 통해 <math>(T,R)</math>쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 [[가법 함자]]
:<math>\hom_S(_RM_S,-)\colon {}_T\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R</math>
:<math>\hom_S(-,{}_TN_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다.

이는 다음과 같이 [[수반 함자]]를 이룬다.
:<math>(_RM\otimes_S-)\dashv \hom_R(_RM_S,-)</math>
:<math>(-\otimes_RM_S)\dashv \hom_S(_RM_S,-)</math>

특히, <math>T=\mathbb Z</math> 또는 <math>R=\mathbb Z</math> 또는 <math>S=\mathbb Z</math>를 놓으면 각종 [[가군]] 범주 위의 다음과 같은 [[가법 함자]]들을 얻는다.
:<math>(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}\to{}_R\operatorname{Mod}</math>
:<math>(-\otimes_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Mod}_S</math>
:<math>\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to {}_S\operatorname{Mod}</math>
:<math>\hom_R(-,{}_RM_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to \operatorname{Mod}_S^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\hom_S(_RM_S,-)\colon \operatorname{Mod}_S\to \operatorname{Mod}_R</math>
:<math>\hom_S(-,{}_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_S\to {}_R\operatorname{Mod}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>(_RM\otimes_S)\dashv\hom_R(_RM_S,-)</math>
:<math>(-\otimes_RM_S)\dashv\hom_S(_RM_S,-)</math>

=== 쌍가군의 2-범주 ===
임의의 가환환 <math>K</math>와 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] <math>R</math>, <math>S</math>에 대하여, <math>(K;R,S)</math>-쌍가군을 대상으로 하고, <math>(K;R,S)</math>-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 [[범주 (수학)|범주]] <math>_RK\text{-uAssocAlg}_S</math>가 존재한다. <math>K=\mathbb Z</math>인 경우 이는 단순히 <math>_R\operatorname{Mod}_S</math>로 표기한다.

보다 일반적으로, [[가환환]] <math>K</math>에 대하여 다음과 같은 [[2-범주]] <math>\operatorname{Bimod}_K</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname{Bimod}_K</math>의 대상은 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]이다. (즉, <math>K\text{-uAssocAlg}</math>의 대상과 같다.)
* <math>\operatorname{Bimod}_K</math>에서, [[단위 결합 대수]] <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 1-사상은 <math>(K;R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math>이다. <math>_RM_S</math>의 [[정의역]]은 <math>R</math>, [[공역]]은 <math>S</math>이다.
** 두 쌍가군 <math>_RM_S</math>, <math>_SN_T</math>의 합성은 쌍가군의 [[텐서곱]] <math>_RM\otimes_SN_T</math>이다.
** 환 <math>R</math> 위의 [[항등 사상]]은 <math>_RR_R</math>이다.
* 같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 1-사상 <math>_RM_S</math>, <math>_RN_S</math> 사이의 2-사상은 <math>(K;R,S)</math>-쌍가군 준동형이다. 즉, [[범주 (수학)|범주]]로서 <math>\hom_{\operatorname{Bimod}}(R,S)={}_RK\text{-uAssocAlg}_S</math>이다.

== 예 ==
=== 아이디얼 ===
환 <math>R</math>의 [[왼쪽 아이디얼]]은 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]을 이루며, [[오른쪽 아이디얼]]은 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]을 이룬다. <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>은 <math>(R,R)</math>-쌍가군을 이룬다.

특히, <math>R</math> 전체는 <math>R</math>의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 <math>(R,R)</math>-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>R</math>가 주어졌을 때, <math>K</math>-가군을 이루는 <math>R</math>-[[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>는 <math>(K;R,R)</math>-쌍가군을 이룬다. 특히, <math>R</math> 전체는 <math>(K;R,R)</math>-쌍가군을 이룬다.

=== 부분환 ===
<math>(R,S)</math>-쌍가군 <math>_RM_S</math> 및 <math>R</math>의 부분환 <math>\tilde R\subseteq R</math>와 <math>S</math>의 부분환 <math>\tilde S\subseteq S</math>가 주어졌을 때, <math>M</math>은 망각을 통해 자연스럽게 <math>_{\tilde R}M_{\tilde S}</math>-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 <math>R</math>의 부분환 <math>\tilde R\subseteq R</math>가 주어졌을 때, 쌍가군 <math>_RR_R</math>에 망각을 가하여 쌍가군 <math>_{\tilde R}R_R</math> 및 <math>_RR_{\tilde R}</math> 및 <math>_{\tilde R}R_{\tilde R}</math>를 정의할 수 있다.

=== 가군의 자기 사상 ===
환 <math>R</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Mod}_R</math>는 [[가법 범주]]이므로 <math>M_R</math>의 [[자기 사상]] 집합 <math>\operatorname{End}_{\operatorname{Mod}_R}(M_R)=\hom_{\operatorname{Mod}_R}(M_R,M_R)</math>는 [[환 (수학)|환]]을 이룬다. 이 [[자기 사상환]]은  <math>M_R</math>의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 <math>M_R</math>는 <math>(\operatorname{End}M,R)</math>-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 자연스럽게 <math>\left(R,(\operatorname{End}M)^{\operatorname{op}}\right)</math>-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 [[모리타 동치]]의 정의에 등장한다.

=== 행렬 쌍가군 ===
환 <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> [[행렬]]로 구성된 [[아벨 군]] <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>을 생각하자. 만약 <math>m=n</math>이라면 (즉, [[정사각 행렬]]이라면) <math>\operatorname{Mat}(n,n;R)=\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 [[환 (수학)|환]]을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 <math>R</math>-쌍선형 함수
<math>\operatorname{Mat}(m,n;R)\otimes_R\operatorname{Mat}(n,p;R)\to\operatorname{Mat}(m,p;R)</math>
를 이룬다. 이에 따라, <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>는 자연스럽게 <math>(\operatorname{Mat}(m;R),\operatorname{Mat}(n;R))</math>-쌍가군을 이룬다.

물론, <math>R</math>는 ([[대각 행렬]]로서) <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 [[부분환]]을 이룬다. 이에 따라, <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>는 <math>(R,R)</math>-쌍가군을 이룬다. 이 경우, <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>는 단순히 [[자유 가군]] <math>R^{mn\oplus}</math>으로 생각할 수 있다.

== 응용 ==
쌍가군에 대하여, [[호흐실트 호몰로지]]와 [[호흐실트 코호몰로지]]를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 [[모리타 동치]] 및 [[모리타 쌍대성]]을 정의할 때 쓰인다.


== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bimodule}}
* {{nlab|id=bimodule|title=Bimodule}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/02/16/morita-equivalence-and-the-bicategory-of-bimodules/|웹사이트=Annoying Precision|날짜=2012-02-16|이름=Qiaochu|성=Yuan|제목=Morita equivalence and the bicategory of bimodules|언어=en|확인날짜=2016-03-14|보존url=https://web.archive.org/web/20150908062624/https://qchu.wordpress.com/2012/02/16/morita-equivalence-and-the-bicategory-of-bimodules/|보존날짜=2015-09-08|url-status=dead}}

[[분류:가군론]]