심플렉틱 행렬 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''심플렉틱 행렬'''(symplectic行列, {{llang|en|symplectic matrix}}) 또는 '''사교행렬'''(斜交行列)은 특정한 성질을 만족시키는 2''n''×2''n'' [[정사각행렬]]이다. 심플렉틱 행렬들은 ([[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은) [[리 군]]인 [[심플렉틱 군]] Sp(2n,ℝ)을 이룬다.

== 정의 ==
2''n''×2''n''차 (실수) '''심플렉틱 행렬'''은 다음을 만족하는 2''n''×2''n'' 정사각행렬 <math>M</math>이다.
:<math>M^\top \Omega M=\Omega</math>
여기서 <math>\Omega</math>는 다음과 같다.
:<math>\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
여기서 <math>I_n</math>은 ''n''×''n'' [[단위행렬]]이고, <math>\det\Omega=1</math>, <math>\Omega^{-1}=\Omega^\top=-\Omega</math>을 만족한다.

== 성질 ==
<math>\det\Omega=1</math>이므로, 심플렉틱 행렬의 [[행렬식]]은 항상 1이다. 심플렉틱 행렬의 [[역행렬]]은 다음과 같다.
:<math>M^{-1}=-\Omega M^\top\Omega</math>.
심플렉틱 행렬들은 행렬곱과 역행렬에 대하여 닫혀 있어, 실수 [[리 군]] Sp(2n,ℝ)을 이룬다. 이는 복소 단순 리 군 Sp(2n,ℂ)의 콤팩트하지 않은 실수 형태이며, [[심플렉틱 군]]으로 불린다. (다만, 콤팩트 실수 형태도 "심플렉틱 군"으로 불리나, 엄밀히 말하면 다른 군이다.)

심플렉틱 행렬의 로그는 [[해밀턴 행렬]]({{llang|en|Hamiltonian matrix}})이다.

== 같이 보기 ==
* [[아다마르 행렬]]
* [[윌리엄슨 형식]]

[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:행렬]]