심플렉틱 용량 문서 원본 보기

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[[심플렉틱 기하학]]에서 '''심플렉틱 용량'''(symplectic容量, {{llang|en|symplectic capacity}})은 [[심플렉틱 다양체]]의 2차원 "넓이"를 측정하는 방법이다. '''그로모프 조임 불가능성 정리'''(Громов조임不可能性定理, {{llang|en|Gromov non-squeezing theorem}})에 따라, 심플렉틱 용량이 존재한다.

== 정의 ==
<math>2n</math> 차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 <math>\operatorname{Sympl}_n</math>이라고 쓰자.
'''심플렉틱 용량'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수
:<math>c\colon\operatorname{Sympl}_n\to[0,\infty]</math>
이다.
* (단조성) 만약 심플렉틱 매장 <math>\iota\colon U\to V</math>가 존재한다면, <math>c(U)\le c(V)</math>
* (동차성) 임의의 양의 실수 <math>\lambda\in\mathbb R^+</math> 및 심플렉틱 다양체 <math>(U,\omega)</math>에 대하여, <math>c(U,\lambda\omega)=\lambda^2c(U,\omega)</math>
* (규격화) <math>c(\mathbb B^{2n}(r))=c(\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2})=\pi r^2</math>
여기서 <math>\mathbb B^{2n}(r)</math>는 <math>2r</math>차원의, 반지름이 <math>r</math>인 [[공 (수학)|공]] <math>\mathbb B^{2n}(r)\subset\mathbb R^{2n}</math>에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

== 성질 ==
다음과 같은 두 함수를 정의하자.
:<math>c_{\min}(M)=\sup\{r\colon\exists\iota\colon\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow M\}</math>
:<math>c_{\max}(M)=\inf\{r\colon\exists\iota\colon M\hookrightarrow\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2}\}</math>
'''그로모프 조임 불가능성 정리'''에 따르면, <math>c_{\min}</math>과 <math>c_{\max}</math>는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 만약 심플렉틱 매장
:<math>\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow\mathbb B^2(R)\times\mathbb R^{2n-2}</math>
이 존재하는 필요충분조건은 <math>r\le R</math>이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 <math>c</math>에 대하여,
:<math>c_{\min}(M)\le c(M)\le c_{\max}(M)</math>
이 성립한다.

== 역사 ==
[[미하일 그로모프]]가 1985년에 [[유사 정칙 곡선]]을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|title=Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds|url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1985-11_82_2/page/n120|journal=Inventiones Mathematicae|날짜=1985|first=M. L. |last=Gromov|저자링크=미하일 그로모프|volume=82|pages=307–347|doi=10.1007/BF01388806|bibcode=1985InMat..82..307G|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=1208.5969|제목=The symplectic egg|이름=Maurice|성=de Gosson|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=0808.2774|제목=How classical is the quantum universe?|이름=Maurice|성=de Gosson|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.stonybrook.edu/~dusa/ewmcambrevjn23.pdf|제목=What is symplectic geometry?|이름=Dusa|성=McDuff|날짜=2009|언어=en|확인날짜=2015-07-12|보존url=https://web.archive.org/web/20150620081540/http://www.math.stonybrook.edu/~dusa/ewmcambrevjn23.pdf|보존날짜=2015-06-20|url-status=dead}}

[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:기하학 정리]]