심플렉틱 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{기하학}}
[[미분기하학]]에서 '''심플렉틱 다양체'''(symplectic多樣體, {{lang|en|symplectic manifold}}) 또는 '''사교다양체'''(斜交多樣體)는 닫힌 비퇴화 2차 [[미분 형식]]을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]다. [[여접다발]]의 개념을 일반화한 것으로 생각할 수 있으며, 항상 짝수 차원을 가진다. 심플렉틱 다양체의 성질을 연구하는 수학 분야를 '''심플렉틱 기하학'''(symplectic幾何學, {{llang|en|symplectic geometry}}), '''사교기하학'''(斜交幾何學), '''심플렉틱 위상수학'''(symplectic位相數學, {{llang|en|symplectic topology}}) 또는 '''사교위상수학'''(斜交位相數學)이라고 한다.

== 정의 ==
'''심플렉틱 다양체''' <math>(M,\omega)</math>는 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>와, 그 위에 정의된 [[닫힌 형식|닫힌]] [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화]] [[2차 미분 형식]] <math>\omega</math>으로 이루어진 [[순서쌍]]이다. 여기서 <math>\omega</math>를 '''심플렉틱 형식'''({{lang|en|symplectic form}})이라고 한다.

심플렉틱 형식이 만족하여야 하는 조건은 구체적으로 다음과 같다.
* [[반대칭 쌍선형 형식|반대칭성]]: [[2차 미분 형식]]이란 정의상 반대칭 (0,2)차 텐서장 <math>\omega(X,Y)=-\omega(Y,X)</math>다.
* [[닫힌 형식|닫힘]]: <math>\mathrm d\omega=0</math>. 여기서 <math>\mathrm d</math>는 미분 형식의 [[외미분]]이다. 다시 말해, 국소적으로 <math>\omega=d\theta</math>인 [[1차 미분 형식]] <math>\theta</math>가 존재한다. 이 [[1차 미분 형식]]은 간혹 '''심플렉틱 퍼텐셜'''({{llang|en|symplectic potential}})이라 불린다.
* [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화성]]: 임의의 점 <math>p\in M</math>에서, 임의의 0이 아닌 벡터 <math>X\in T_pM</math>에 대하여, <math>\omega(X,Y)\ne0</math>인 벡터 <math>Y\in T_pM</math>이 존재한다. 다시 말해, <math>X</math>가 0이 아니면 1차 미분형식 <math>\omega(X,\cdot)</math>도 0이 아니다. 따라서 <math>\omega</math>는 벡터 공간 <math>T_pM</math>과 여벡터 (1차 형식) 공간 <math>T_p^*M</math> 사이에 [[동형사상]]을 정의한다. 이 점에서 심플렉틱 형식은 [[리만 다양체]]의 [[계량 텐서]]와 유사하다.
비퇴화 2차 미분형식은 짝수 차원에만 존재하므로, 심플렉틱 다양체는 짝수 차원을 가진다. 만약 <math>\omega</math>가 다른 조건은 만족하지만 닫혀 있지 않으면 이를 '''거의 심플렉틱 형식'''({{llang|en|almost symplectic form}})이라고 하고, 이를 갖춘 다양체를 '''거의 심플렉틱 다양체'''({{lang|en|almost symplectic manifold}})라고 한다.

'''심플렉틱 다양체의 [[범주 (수학)|범주]]'''는 심플렉틱 다양체를 대상으로 하고, 심플렉틱 형식을 보존하는 매끄러운 함수를 [[사상 (범주론)|사상]]으로 하는 [[범주 (수학)|범주]]다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>, <math>(M',\omega')</math> 사이의 사상이란
:<math>f^*\omega'=\omega</math>
를 만족하는 매끄러운 함수 <math>f\colon M\to M'</math>이다. (여기서 <math>f^*</math>는 <math>f</math>로의 [[당김 (미분기하학)|당김]]을 뜻한다.)

'''심플렉틱 동형 사상'''({{llang|en|symplectomorphism|심플렉토모피즘}})은 심플렉틱 다양체의 범주에서의 [[동형 사상]]이다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>, <math>(M',\omega')</math> 사이의 심플렉틱 동형 사상 <math>f</math>는 <math>f^*\omega'=\omega</math>를 만족하는 [[미분동형사상]] <math>f\colon M\to M'</math>이다. 심플렉틱 동형 사상은 [[해밀턴 역학]]에서 [[정준변환]]이라고 불린다.

== 성질 ==
=== 부피 형식 ===
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>는 표준적으로 [[부피 형식]]을 가지며, 따라서 표준적으로 [[유향 다양체]]를 이룬다. 구체적으로,
:<math>\frac1{n!}\underbrace{\omega\wedge\omega\wedge\dotsb\wedge\omega}_{(\dim M)/2} \in \Omega^{\dim M}(M)</math>
는 최고차 [[미분 형식]]이며, <math>\omega</math>가 비퇴화이므로 항상 부피 형식을 정의한다.

=== 위상수학적 성질 ===
모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원의 [[유향 다양체]]이다. 콤팩트 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>의 경우, 2차 [[베티 수]]가 0일 수 없다. 이는 <math>\omega^n/n!</math>이 [[부피 형식]]이므로, <math>0\ne[\omega]\in\mathbb H^2(M;\mathbb Q)</math>이기 때문이다.

모든 심플렉틱 다양체는 호환되는 [[개복소구조]]를 가지므로, 개복소구조의 존재는 심플렉틱 구조가 존재할 [[필요 조건]]이다. 특히, 4차원 다양체 <math>M</math>의 경우, [[개복소구조]]가 존재할 [[필요 조건]]은 다음과 같다.
:<math>1-b_1(M)+b_2^+(M)\equiv0\pmod2</math>
여기서 <math>b_i</math>는 [[베티 수]]이고, <math>b_2^\pm</math>는 2차 코호몰로지 가운데, [[교차 형식]] 아래 고윳값이 <math>\pm1</math>인 것의 수이다.

차원과 [[방향 (다양체)|방향]]을 제외하면, 위 조건들은 모두 [[호모토피]] 불변량이다. 이 밖에도, [[자이베르그-위튼 불변량]]을 통해, 호모토피 불변이 아닌, 심플렉틱 구조의 존재에 대한 [[필요 조건]]을 유도할 수 있다.

=== 미분기하학적 성질 ===
[[다르부 정리]]에 따라서, 모든 심플렉틱 다양체는 국소적으로 평탄한 공간과 동형이다. 즉, 심플렉틱 다양체는 국소적인 기하학을 갖지 않는다.

대역적으로, 심플렉틱 다양체는 부피를 가지며, 부피 밖에도 [[심플렉틱 용량]]이라는 2차원적 "넓이"를 갖는다.

=== 음악 동형 ===
{{본문|음악 동형}}
[[리만 다양체]]의 경우와 마찬가지로, 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>의 [[접다발]]과 [[공변접다발]]은 표준적으로 [[동형]]이다. 구체적으로, 이 동형은 다음과 같은 '''음악 사상'''({{llang|en|musical morphism}})으로 정의된다.
:<math>\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM</math>
:<math>\flat \colon \mathrm TM \to \mathrm T^*M</math>
:<math>\sharp\colon \alpha \mapsto \omega^{-1}(\alpha,-)</math>
:<math>\flat\colon v \mapsto \omega(v,-)</math>
([[복소수 벡터 다발]]과 달리 모든 실수 벡터 다발은 스스로의 쌍대 다발과 동형이지만, 리만 계량이나 심플렉틱 형식이 없다면 이 동형은 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.)

또한, 심플렉틱 다양체의 [[접다발]]의 부분 벡터 다발 <math>E \subseteq \mathrm TM</math>이 주어졌을 때, 그 '''직교 여다발'''({{llang|en|orthogonal complement}})
:<math>E^\perp = \{v\in \mathrm TM \colon \omega(E,v) = 0\} = \ker E^\flat</math>
을 정의할 수 있다.

== 예 ==
[[초구]] <math>\mathbb S^n</math>가 심플렉틱 구조를 가질 수 있는 필요충분조건은 <math>n=0,2</math>인 것이다. <math>n</math>이 홀수인 경우는 물론 불가능하며, <math>n>2</math>인 경우는 2차 베티 수가 0이기 때문이다.

=== 여접다발 ===
임의의 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 [[여접다발]] <math>T^*M</math>은 자연스러운 심플렉틱 구조를 지닌다. 여접다발 안의 임의의 점 <math>(x,\phi)</math>를 생각하자. 또한, <math>x\in M</math> 근처에 국소좌표계 <math>q^i</math>를 잡자. 그렇다면 임의의 1차 형식 <math>\phi\in T_x^*M</math>은 <math>\phi=p_idq^i</math>의 꼴로 전개할 수 있다. 즉 <math>M</math>의 국소좌표계 <math>q^i</math>로부터 <math>T_xM</math>의 좌표계 (이는 벡터 공간이므로 [[기저 (선형대수학)|기저]]) <math>p_i</math>를 유도할 수 있다. 따라서, <math>(q^i,p_i)</math>는 여접다발 <math>T^*M</math>의 (<math>(x,\phi)</math> 근처에서의) 국소좌표계를 이룬다. 그렇다면 심플렉틱 퍼텐셜 <math>\theta</math>를
::<math>\theta=\sum_{i=1}^np_i dq^i</math>
:와 같이 정의할 수 있다. 이에 따라 심플렉틱 형식 <math>\omega</math>는
::<math>\omega=d\theta=\sum_{i=1}^ndp_i\wedge dq^i</math>
:이고, <math>(T^*M,\omega)</math>는 <math>2n</math>차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.

=== 리만 곡면 ===
임의의 [[리만 곡면]] (2차원 [[유향 다양체]]) 위에서, 적절한 [[리만 계량]]을 주고, 이에 대한 부피 형식을 심플렉틱 형식으로 잡으면 심플렉틱 다양체를 이룬다. 즉, 2차원에서는 가향성 밖에는 심플렉틱 구조의 존재의 방해물이 존재하지 않는다.

=== 복소수 대수 곡면 ===
[[엔리퀘스-고다이라 분류]]에 따라, 1차 [[베티 수]]가 짝수인 모든 4차원 (=복소수 2차원) [[단일 연결]] [[복소다양체]]는 [[켈러 다양체]]의 구조를 가질 수 있으며, 따라서 심플렉틱 구조를 가질 수 있다.<ref name="Cannas">{{서적 인용|장=Chapter 3. Symplectic geometry|이름=Ana|성=Cannas da Silva|arxiv=math/0505366|bibcode=2005math......5366C|제목=Handbook of Differential Geometry (vol. 2)|쪽=79–188|doi=10.1016/S1874-5741(06)80006-3|날짜=2006|isbn=978-0-444-52052-4|출판사=North-Holland Press}}</ref>{{rp|§4.1}}

== 응용 ==
심플렉틱 다양체는 [[해밀턴 역학]]에서 [[계 (물리학)|계]]의 [[위상 공간 (물리학)|페이즈 공간]]으로서 등장한다. 페이즈 공간은 [[짜임새 공간]]의 [[여접다발]]을 일반화한 것이다.<ref name="Webster">{{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2012/01/09/what-is-a-symplectic-manifold-really/|제목=What is a symplectic manifold, really?|성=Webster|이름=Ben|날짜=9 January 2012}}</ref> [[해밀턴 역학|해밀턴 방정식]]이 [[미분방정식|연립 미분 방정식]]으로부터 계의 시간 진화를 도출할 수 있도록 하는 것과 같은 방식으로 심플렉틱 형식은 해밀턴 함수 ''<math>H</math>''의 미분 ''<math>dH</math>''로부터 계의 흐름을 설명하는 [[벡터장]]을 얻을 수 있도록 해야 한다.<ref name="Cohn">{{웹 인용|url=https://math.mit.edu/~cohn/Thoughts/symplectic.html|제목=Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics|성=Cohn|이름=Henry}}</ref> 따라서 [[접다발|접다양체]] <math>TM</math>에서 [[공변접다발|여접다양체]] <math>T^*M</math>로 가는 선형 사상 <math>TM\rightarrow T^*M</math> 또는 동등하게 <math>T^*M\otimes T^*M</math>의 원소가 필요하다. ''<math>\omega</math>''가<math>T^*M\otimes T^*M</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]을 나타내도록 하면 ''<math>\omega</math>''가 축퇴하지 않는다는 요구 사항은 모든 미분 ''<math>dH</math>''에 대해 ''<math>dH=\omega(V_H, \cdot)</math>''가 되는 유일한 대응 벡터장 ''<math>V_H</math>''가 있음을 보장한다. 해밀토니안이 흐름선을 따라 일정하기를 원하기 때문에 ''<math>\omega(V_H, V_H)=dH(V_H)=0</math>''이어야 하며, 이는 ''<math>\omega</math>''가 [[외대수|교대적]]이고 따라서 제 2미분형식임을 의미한다. 마지막으로, ''<math>\omega</math>''가 흐름선 아래에서 변경되지 않아야 한다는 요구 사항을 만든다. 즉, ''<math>V_H</math>''를 따라 ''<math>\omega</math>''의 [[리 미분]]이 0이다. [[내부곱|카르탕 공식]]을 적용하면 (여기서 <math> \iota_X</math>는 [[내부곱]]이다):

: <math>\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = 0\;\Leftrightarrow\;\mathrm d (\iota_{V_H} \omega) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega= \mathrm d (\mathrm d\,H) + \mathrm d\omega(V_H) = \mathrm d\omega(V_H)=0</math>

대응하는 <math>V_H</math>가 이 과정이 적용되는 각 점에서 접공간을 생성하는 다른 매끄러운 함수 <math>H</math>에 대해 이 과정을 반복할 때, 임의의 매끄러운 함수 <math>H</math>에 대응하는 <math>V_H</math>의 흐름을 따른 리 미분이 사라진다는 조건은 ''<math>\omega</math>가'' 닫힌 형식이라는 조건과 동일하다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Symplectic maps|이름=Christophe|성=Golé|연도=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=3|쪽=3722|doi=10.4249/scholarpedia.3722}}
* {{저널 인용|url=http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|저자=조용승|제목=심플렉틱 다양체의 불변량|저널=Communications of the Korean Mathematical Society|권=15|호=3|날짜=2000|쪽=391–434|issn=1225-1763|언어=ko|확인날짜=2015-07-13|보존url=https://web.archive.org/web/20150713090023/http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|보존날짜=2015-07-13|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=Lectures on symplectic geometry|이름=Ana|성=Cannas da Silva|url=http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/lsg.pdf|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1764|issn=0075-8434|출판사=Springer|doi=10.1007/978-3-540-45330-7|isbn=978-3-540-42195-5|언어=en}}
* {{저널 인용|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=5|호=1|쪽=1–13|이름=Alan|성=Weinstein|제목=Symplectic geometry|mr=614310|zbl=0465.58013|날짜=1981|doi=10.1090/S0273-0979-1981-14911-9}}
* {{저널 인용|제목=The topology of symplectic manifolds|이름=Robert E.|성=Gompf|url=http://journals.tubitak.gov.tr/math/abstract.htm?id=4405|저널=Turkish Journal of Mathematics|권=25|호=1|쪽=43–59|날짜=2001|언어=en|확인날짜=2015-07-12|보존url=https://web.archive.org/web/20150713032343/http://journals.tubitak.gov.tr/math/abstract.htm?id=4405|보존날짜=2015-07-13|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Symplectic structures: a new approach to geometry|이름=Dusa|성=McDuff|url=http://www.ams.org/notices/199808/mcduff.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=1998-09|권=45|호=8|쪽=952–960|zbl=0906.53023|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symplectic structure}}
* {{eom|title=Symplectic manifold}}
* {{eom|title=Almost-symplectic structure}}
* {{eom|title=Symplectic connection}}
* {{매스월드|id=SymplecticManifold|title=Symplectic manifold}}
* {{매스월드|id=SymplecticDiffeomorphism|title=Symplectic diffeomorphism}}
* {{매스월드|id=SymplecticForm|title=Symplectic form}}
* {{nlab|id=symplectic manifold|title=Symplectic manifold}}
* {{nlab|id=symplectic geometry|title=Symplectic geometry}}
* {{nlab|id=symplectic topology|title=Symplectic topology}}
* {{nlab|id=symplectic connection|title=Symplectic connection}}
* {{nlab|id=symplectic vector space|title=Symplectic vector space}}
* {{nlab|id=symplectic vector space|title=Symplectic vector space}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/122119/what-prevents-a-manifold-to-be-symplectic|제목=What prevents a manifold to be symplectic?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[푸아송 괄호]]
* [[푸아송 다양체]]
* [[양자 코호몰로지]]
* [[플뢰어 호몰로지]]
* [[켈러 다양체]]
* [[심플렉틱 군]]
* [[심플렉틱 행렬]]
* [[거울 대칭]]
* [[라그랑주 부분 다양체]]

{{전거 통제}}

[[분류:심플렉틱 기하학| ]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]