심플렉틱 기하학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{학문 정보
|학문명 = 심플레틱 기하학
|그림 = Limitcycle.svg
|그림크기 =
|그림설명 =1차원 물리계인 반 데르 폴 진동자의 페이즈 공간 . [[위상 공간 (물리학)|페이즈 공간]]은 심플렉틱 기하학에서 원래 연구 대상이었다.
|다른 이름 =
|연구 분야 =
|학문 분야 =
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|창시 시기 =
|관련 직업 =
}}
'''심플렉틱 기하학'''({{llang|en|Symplectic geometry}})은 [[심플렉틱 다양체]]를 연구하는 [[미분기하학]] 또는 [[미분위상수학]]의 한 분야이다. 즉, 닫힌, 비축퇴 [[미분 형식|제2 미분형식]]을 갖춘 미분 다양체이다. 심플렉틱 기하학은 특정 고전 물리계의 [[위상 공간 (물리학)|페이즈 공간]]이 심플렉틱 다양체의 구조를 취하는 [[고전역학]]의 [[해밀턴 역학|해밀턴 공식화]]에 기원을 두고 있다.<ref>{{뉴스 인용|url=https://www.quantamagazine.org/the-fight-to-fix-symplectic-geometry-20170209/|제목=A Fight to Fix Geometry's Foundations|성=Hartnett|이름=Kevin|날짜=February 9, 2017|뉴스=[[Quanta Magazine]]}}</ref>

[[헤르만 바일|바일]]에 의해 도입된 "심플렉틱"이라는 용어는<ref>Weyl, Hermann (1939). The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255</ref> "복합체"의 [[번역차용|칼크]]이다. 이전에는 "[[심플렉틱 군]]"을 "선 복합제 군"이라고 했다. "복합체"는 "함께 땋다"(co- + plexus)를 의미하는 라틴어 ''com-plexus''에서 유래한 반면 심플렉틱은 해당 그리스어 ''sym-plektikos'' (συμπλεκτικός)에서 유래했다. 두 경우 모두 줄기는 인도-유럽어 뿌리 [[wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pleḱ-|*pleḱ]] 에서 유래한다. 이름은 복소 구조와 심플렉틱 구조 사이의 깊은 연결을 반영한다.

[[다르부 정리]]에 따르면 심플렉틱 다양체는 국소적으로 표준 [[심플렉틱 벡터 공간]]과 동형이므로 전역(위상) 불변량만 갖는다. 이렇게 심플렉틱 다양체는 전통적인 기하학과는 다르게 국소적 구조가 별로 중요하지 않아서, 심플렉틱 다양체의 전역적 성질을 연구하는 "심플렉틱 위상수학"은 종종 "심플렉틱 기하학"과 같은 의미로 사용된다.

{{인용 상자|width=60%|align=right|quote=선 복합체를 암시하면서 이전에 내가 주창했던 "복소 군"이라는 이름은, 이것들이 반대칭 쌍선형 형태의 소멸로 정의되기 때문에, 복소수의 "복소"라는 단어와의 충돌을 통해 점점 더 난처해졌다. 따라서 나는 그것을 대응하는 그리스어 형용사 "심플렉스"로 대체할 것을 제안한다. 딕슨은 그것을 처음 연구한 아벨에게 경의를 표하기 위해 그 군을 "아벨 선형군"이라고 불렀다.|source={{harvtxt|Weyl|1939|p=165}}}}

== 도입 ==
심플렉틱 기하학은 [[홀수와 짝수|짝수]] 차원 [[매끄러운 다양체|미분다양체]]에서 정의된다. 이 다양체에서 방향을 반영하여 2차원 대상의 크기를 측정할 수 있는 기하적 대상인 [[심플렉틱 다양체|심플렉틱 제2 미분 형식]]이 정의된다. 심플렉틱 기하학의 심플렉틱 형식은 [[리만 기하학]]의 리만 계량에 대응하는 역할을 한다. 리만 계량이 길이와 각도를 정의하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 주어진 넓이를 정의한다.<ref name="McDuff2010"/>

역사적으로 심플렉틱 기하학은 [[고전역학]]의 수리물리학적 연구에서 발생했다. 1차원에서 물체의 운동 궤적을 나타내기 위해 [[위치벡터|위치]] ''q''와 [[운동량]] ''p''가 모두 필요하다. 이는 [[평면|유클리드 평면]] ℝ<sup>2</sup>에서 점 (''p'', ''q'')로 표시할 수 있다. 이 경우 심플렉틱 [[미분 형식|형식]]은

: <math>\omega = dp \wedge dq</math>

과 같다. 이는 [[미분 형식|적분]]을 통해 평면에서 영역 ''S''의 영역 ''A''를 측정하는 [[부피 형식|넓이 형식]]이다.

: <math>A = \int_S \omega.</math>

이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 불변이기 때문에 중요하다. 고전 역학의 주요 부분 역시 보존적 동적계에 해당한다.<ref name="McDuff2010"/>

더 높은 차원의 심플렉틱 기하학은 비슷하게 정의된다. 2''n'' 차원의 심플렉틱 기하학은 2''n'' 차원 미분다양체에 주어지는 방향 쌍

: <math>((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))</math>

과 심플렉틱 형식

: <math>\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>

으로 형성된다. 이 심플렉틱 형식은 공간에서 2''n'' 차원 영역 ''V''의 크기를 방향 쌍에 의해 형성된 각 평면에 대한 ''V'' 의 사영 면적의 합으로 산출한다<ref name="McDuff2010">{{인용|출판사=World Scientific}}</ref>

: <math>A = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>

== 리만 기하학과의 비교 ==
심플렉틱 기하학은 비축퇴 대칭 2차 텐서([[리만 다양체|리만 계량]] 텐서)가 장착된 미분 다양체에 대한 연구인 [[리만 기하학]]과 많은 유사점과 차이점을 가지고 있다. 리만 다양체의 경우와 달리, 심플렉틱 다양체에는 곡률과 같은 국소적 불변량이 없다. 이것은 2''n'' 차원 심플렉틱 다양체의 임의의 점의 이웃이 ℝ<sup>2''n''</sup>의 열린 집합에서 표준 심플렉틱 구조와 동형이라는 [[다르부 정리]]의 결과이다. 리만 기하학과의 또 다른 차이점은 모든 미분 가능 다양체에 심플렉틱 형식을 줄 수는 없고 특정 위상을 가진 미분다양체에만 줄 수 있다는 제한이 있다는 것이다. 예를 들어, 모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원이며 [[방향 (다양체)|가향]]이다. 추가로, ''M이'' 닫힌 심플렉틱 다양체이면 2차 [[드람 코호몰로지|드 람 코호몰로지 군]] ''H''<sup>2</sup>(''M'' )은 자명하지 않다. 이런 성질은, 예를 들어, 심플렉틱 형식을 허용하는 [[초구|n차원 구]]가 [[구 (기하학)|2차원 구]]밖에 없다는 것을 의미한다. 두 주제 사이에 그릴 수 있는 평행선은 리만 기하학의 [[측지선]]과 심플렉틱 기하학의 [[유사정형 곡선|준 정칙 곡선]] 사이의 유사성이다. 리만 기하학에서 측지선은 길이가 극소값인 곡선인 반면, 심플렉틱 기하학에서 준 정칙 곡선은 극소 곡면이다. 두 개념 모두 해당 분야에서 근본적인 역할을 한다.

== 예제 및 구조 ==
모든 [[켈러 다양체]]는 심플렉틱 다양체이기도 하다. 1970년대까지 심플렉틱 기하학 전문가들은 켈러 다양체 이외의 콤팩트 심플렉틱 다양체가 존재하는지 아닌지 확신하지 못했지만, 그 이후로 많은 예가 구성되었다(첫 번째는 [[윌리엄 서스턴]]이 발표). 특히, 로버트 곰프는 켈러 다양체 예시와 현저한 대조를 이루는, [[군의 표시|유한 표현 군]]이 어떤 심플렉틱 4-다양체의 [[기본군]]으로 발생함을 보여주었다.

대부분의 심플렉틱 다양체는 [[켈러 다양체]]가 아니라고 말할 수 있다. 따라서 일반적으로 심플렉틱 형식과 호환되는 적분 가능한 복소 구조가 없다. 그러나 [[미하일 레오니도비치 그로모프|미하일 그로모프]]는 심플렉틱 다양체가 호환되는 [[개복소다양체|버금 복소 구조]]를 풍부하게 허용하므로 추이 사상이 [[정칙 함수|정칙]]이어야 한다는 요구 사항을 ''제외하고'' 켈러 다양체의 모든 공리를 충족한다는 중요한 관찰을 했다.

그로모프는 심플렉틱 다양체에 버금 복소 구조의 존재를 사용하여 준 정칙 곡선 이론을 개발했으며<ref>Gromov, Mikhael. "Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds." Inventiones mathematicae 82.2 (1985): 307–347.</ref> 현재 [[그로모프-위튼 불변량]]으로 알려진 심플렉틱 불변량을 포함하여 심플렉틱 위상수학에서 많은 발전을 가져왔다. 나중에 준 정칙 곡선 기법을 사용하여 안드레아스 플뢰어는 [[플뢰어 호몰로지]]로 알려진 심플렉틱 기하학에서 또 다른 중요한 개념을 발명했다.<ref>Floer, Andreas. "Morse theory for Lagrangian intersections." Journal of differential geometry 28.3 (1988): 513–547.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[접촉 기하학]]
* 기하학적 역학
* [[운동량 사상]]
* [[푸아송 기하학]]
* 심플렉틱 적분
* [[심플렉틱 벡터 공간|심플렉틱 선형 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Foundations of Mechanics|성=Abraham|이름=Ralph|저자링크=Ralph Abraham (mathematician)|성2=Marsden|이름2=Jerrold E.|저자링크2=Jerrold E. Marsden|연도=1978|출판사=Benjamin-Cummings|위치=London|isbn=978-0-8053-0102-1}}
* {{저널 인용|제목=Первые шаги симплектической топологии|저널=Успехи математических наук|성=Arnol'd|이름=V. I.|url=http://stacks.iop.org/0036-0279/41/i=6/a=R01?key=crossref.b64c82f40738bc9e5d8af2d5ca203307|연도=1986|권=41|호=6(252)|쪽=3–18|언어=ru|번역제목=First steps in symplectic topology|doi=10.1070/RM1986v041n06ABEH004221|issn=0036-0279}}
* {{서적 인용|제목=Introduction to Symplectic Topology|성=McDuff|이름=Dusa|저자링크=Dusa McDuff|성2=Salamon|이름2=D.|저자링크2=Dietmar Arno Salamon|연도=1998|출판사=Oxford University Press|isbn=978-0-19-850451-1}}
* {{서적 인용|제목=Symplectic Geometry|성=Fomenko|이름=A. T.|연도=1995|판=2nd|출판사=Gordon and Breach|isbn=978-2-88124-901-3}} ''(An undergraduate level introduction.)''
* {{서적 인용|제목=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics|성=de Gosson|이름=Maurice A.|저자링크=Maurice A. de Gosson|연도=2006|출판사=Birkhäuser Verlag|위치=Basel|isbn=978-3-7643-7574-4}}
* {{저널 인용|제목=Symplectic Geometry|저널=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|성=Weinstein|이름=Alan|저자링크=Alan Weinstein|url=http://www.ams.org/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf|연도=1981|권=5|호=1|쪽=1–13|doi=10.1090/s0273-0979-1981-14911-9}}
* {{서적 인용|제목=The Classical Groups. Their Invariants and Representations|성=Weyl|이름=Hermann|저자링크=Hermann Weyl|연도=1939}} Reprinted by [[프린스턴 대학교 출판부|Princeton University Press]] (1997). {{ISBN|0-691-05756-7}}. {{MR|0000255}}.

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{SpringerEOM|id=p/s091860|제목=Symplectic structure}}

{{전거 통제}}

[[분류:심플렉틱 기하학]]