심슨 직선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Pedal Line.svg|섬네일|심슨 직선]]
[[기하학]]에서 '''심슨 직선'''({{llang|en|Simson line}})은 [[삼각형]]의 [[외접원]] 위의 점을 지나는 각 변의 [[수직|수선]]의 발을 지나는 직선이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math> 및 같은 평면 위의 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. <math>P</math>를 지나는 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|41, §2.5, Theorem 2.51}}
* <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이다.
* <math>P</math>는 삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]] 위의 점이다.
만약 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원 위의 점이라면, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>를 지나는 직선을 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 '''심슨 직선'''이라고 한다. 만약 <math>P</math>가 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 <math>DEF</math>를 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 '''[[수족 삼각형]]'''이라고 한다.
{{증명}}
점 <math>P</math>가 외접원 위의 점이라고 가정하자. 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 외접원의 지름을 <math>AA'</math>이라고 하자. 편의상 <math>P</math>가 호 <math>BA'</math> 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 <math>D</math>, <math>E</math>는 선분 <math>BC</math>, <math>CA</math> 위의 점이며 <math>F</math>는 선분 <math>AB</math>의 연장선 위의 점이다. 또한 <math>PD</math>, <math>PE</math>, <math>PF</math>가 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 수선이므로 사각형 <math>AEPF</math>, <math>BDPF</math>, <math>CEDP</math>는 [[내접 사각형]]이며, <math>P</math>가 외접원 위의 점이므로 사각형 <math>ABPE</math> 역시 내접 사각형이다. 따라서
:<math>\begin{align}\angle BDF
&=\angle BPF\\
&=\angle EPF-\angle BPE\\
&=180^\circ-\angle A-\angle BPE\\
&=\angle BPC-\angle BPE\\
&=\angle CPE\\
&=\angle CDE
\end{align}</math>
이다. 즉, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이다.

반대로 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 <math>P</math>는 삼각형의 한 꼭짓점에서의 내각의 내부에 속하며, 대변에 대하여 그 꼭짓점의 반대쪽에 있다. 편의상 <math>P</math>가 내각 <math>\angle A</math>의 내부에 속하며 대변 <math>BC</math>에 대하여 <math>A</math>의 반대쪽에 있다고 하자. 그렇다면 사각형 <math>CEDP</math>, <math>BDPF</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle CPE=\angle CDE=\angle BDF=\angle BPF</math>
이다. 사각형 <math>AEPF</math> 역시 내접 사각형이므로
:<math>\angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=\angle BPE+\angle BPF=\angle EPF=180^\circ-A</math>
가 성립한다. 따라서 사각형 <math>ABPC</math> 역시 내접 사각형이며, <math>P</math>는 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원 위의 점이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
삼각형 <math>ABC</math>에 대한 외접원 위의 두 점 <math>P</math>, <math>Q</math>의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 <math>PQ</math>의 중심각의 크기의 1/2과 같다.<ref name="Coxeter" />{{rp|44, §2.7, Theorem 2.71}}
{{증명}}
점 <math>P</math>를 지나는 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 직선 <math>PD</math>와 외접원의 다른 한 교점을 <math>P'</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>AP'</math>와 심슨 직선이 평행하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 점 <math>B</math>를 지나는 외접원의 지름을 <math>BB'</math>이라고 하고, 편의상 <math>P</math>가 호 <math>AB'</math> 위의 점이라고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 <math>APCP'</math>, <math>PCDE</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle PP'A=\angle PCE=\angle PDE</math>
이다. 따라서 <math>AP'</math>와 심슨 직선 <math>DE</math>는 평행한다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>에 대한 외접원 위의 두 [[대척점]] <math>P</math>, <math>Q</math>의 심슨 직선은 서로 수직이며, [[구점원]] 위의 점에서 만난다.<ref name="Coxeter" />{{rp|45, §2.7, Exercise 1}}

삼각형 <math>ABC</math>에 대한 외접원 위의 점 <math>P</math>의 심슨 직선은 <math>P</math>와 [[수심 (기하학)|수심]] <math>H</math> 사이의 선분 <math>PH</math>를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 <math>ABC</math>의 [[구점원]]의 한 교점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|47, §5.3}}

=== 포락선 ===
[[파일:Simson-deltoid-anim.gif|섬네일|슈타이너 하이포사이클로이드]]
주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 [[포락선]]은 [[델토이드 곡선]]이며, 이를 '''슈타이너 하이포사이클로이드'''({{llang|en|Steiner’s hypocycloid}})라고 한다.<ref name="Coxeter" />{{rp|44, §2.7}}

== 같이 보기 ==
* [[수족 삼각형]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simson straight line}}
* {{매스월드|id=SimsonLine|title=Simson line}}
* {{웹 인용
|url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/SimsonLine.shtml
|성=Bogomolny
|이름=Alexander
|제목=Simson line
|언어=en
|웹사이트=Cut the Knot
}}

[[분류:삼각 기하학]]