실효값 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Sine voltage.svg|섬네일|[[교류]] 전압의 개형이 위와 같을 때 ①은 진폭, ③은 실효 전압이다.]]

'''실효값'''(實效-, {{llang|de|Effektivwert}})은 [[제곱평균제곱근]]으로 표현한 [[물리량]]을 말하며, [[전기공학]]·[[음향학]] 등에서 쓰인다. 영어권의 용어를 따라 흔히 '''RMS'''({{llang|en|root-mean-square}})라고도 한다.

== 예 ==

시간에 따라 변하는 순간 전류 <math>I(t)</math>와 저항 <math>R</math>을 이용해 다음과 같이 순간 전력 <math>P(t)</math>를 구할 수 있다.
: <math>P(t) = I^2(t)R\min(\min(\max(\arcsec,y),y),y)</math>다면, 시간에 따른 평균 전력 <math>P_\mathrm{avg}</math>에 대해 다음 등식이 성립한다. (단, <math>\langle \ldots \rangle</math>는 함수의 [[평균]]값.)

: <math>\begin{align}
P_\mathrm{avg}
&= \langle P(t) \rangle \\
&= \langle I^2(t)R \rangle \\
&= R \langle I^2(t) \rangle \\
&= \left( I_\mathrm{RMS} \right)^2 R
\end{align}</math>
이로써 전류의 실효값(RMS)으로 평균 전력을 계산할 수 있다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 <math>P_\mathrm{avg} = \left( V_\mathrm{RMS} \right)^2 / R</math>이므로, 다음이 성립한다.
: <math>P_\mathrm{avg} = V_\mathrm{RMS} I_\mathrm{RMS}</math>
다시 말해, 시간에 따라 전압과 전류가 변하는 경우에도 각각의 실효값을 마치 시간 불변의 물리량인 것처럼 적용해서 평균 전력을 구할 수 있다는 것이다.

[[파일:Effektivwert-Sinus.svg|섬네일|[[삼각함수]]로 표현된 전류(왼쪽)<br>전류의 제곱값과 제곱값의 평균(오른쪽)]]

만약 [[교류]]인 경우를 가정하여 <math>I(t) = I_p \sin(\omega t)</math>라고 하면, <math>I^2(t)</math>도 [[주기함수]]이므로 평균값은 주기 <math>T = 2\pi/\omega</math>만큼의 적분값을 T로 나눈 것이 되므로, 전류의 실효값 <math>I_\mathrm{RMS}</math>는 다음과 같다.
: <math>\begin{align}
I_\mathrm{RMS}
&= \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T I^2(t) \,dt } \\
&= \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T I_p^2 \sin^2(\omega t) \,dt } \\
&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} \,dt } \\
&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin(2\omega t)}{4\omega} \right]_0^T } \\
&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \frac{T}{2}} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}
\end{align}</math>
마찬가지로 전압의 실효값을 계산하면 <math>V_\mathrm{RMS} = V_p / \sqrt{2}</math>이 된다.
{{토막글|수학|전기}}

[[분류:측정]]
[[분류:전기공학]]
[[분류:음향학]]