실폐체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]과 [[모형 이론]]에서 '''실폐체'''(實閉體, {{llang|en|real closed field}})는 [[실수체]]와 [[기본 동치]]인 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 체를 '''실폐체'''라고 한다.
* <math>K</math>의 [[1차 논리]] 언어 <math>(K,+,-,0,\cdot,1)</math>는 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>의 [[1차 논리]] 언어 <math>(\mathbb R,+,-,0,\cdot,1)</math>과 [[기본 동치]]이다.
* 모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가지며, 또한 <math>K</math> 위에 다음 두 조건을 만족시키는 [[전순서]] <math>\le</math>가 존재한다.
** <math>(K,\le)</math>는 [[순서체]]를 이룬다.
** 모든 양의 원소는 제곱수이다. 즉, <math>\forall a\in K\colon\left(a>0\implies\exists b\in K\colon a=b^2\right)</math>이다.
* <math>K</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 [[전순서]] <math>\le</math>가 존재한다.
** <math>(K,\le)</math>는 [[순서체]]를 이룬다.
** <math>\le</math>는 대수적 확대에 대하여 확대될 수 없다. 즉, <math>K</math>의 임의의 [[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 만약 <math>[L:K]>1</math>이며, <math>L</math>에 [[전순서]] <math>\le_L</math>를 부여하여 <math>(L,\le_L)</math>이 [[순서체]]를 이룬다면, <math>\le_L|_{K\times K}\ne \le</math>이다.
* <math>K</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 [[전순서]] <math>\le</math>가 존재한다.
** <math>(K,\le)</math>는 [[순서체]]를 이룬다.
** 모든 [[다항식]]에 대하여 [[중간값 정리]]가 성립한다. 즉, 임의의 <math>p\in K[x]</math> 및 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 임의의 <math>\tilde c\in K</math>에 대하여, 만약 <math>a\le b</math>이며 <math>f(a)\le \tilde c\le f(b)</math>라면, <math>f(c)=\tilde c</math>이자 <math>a\le c\le b</math>인 <math>c\in K</math>가 존재한다.
* <math>K</math>는 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아니며, 또한 <math>\bar K/K</math>는 [[유한 확대]]이다.
* <math>K</math>는 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아니며, [[확대체]] <math>K(\sqrt{-1})</math>은 [[대수적으로 닫힌 체]]이다.
* <math>K</math>는 스스로의 [[대수적 폐포]] 속에서 극대 [[형식적 실체]]({{llang|en|formally real field}})이다. 즉, <math>K</math>는 [[형식적 실체]]이며, 임의의 [[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여 <math>[L:K]>1</math>이라면, <math>L</math>은 형식적 실체가 아니다.

실폐체 <math>K</math> 위에는 다음과 같이 표준적인 [[전순서]]를 주어 [[순서체]]로 만들 수 있다.
:<math>a\le b\iff \exists c\in K\colon a+c^2=b</math>

== 성질 ==
'''아르틴-슈라이어 정리'''({{llang|en|Artin–Schreier theorem}})에 따르면, 임의의 [[순서체]] <math>(K,\le)</math> 및 그 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 <math>K\le K^{\operatorname{re}}\le\bar K</math>가 존재한다.
* <math>K^{\operatorname{re}}</math>는 실폐체이다.
* <math>K^{\operatorname{re}}</math> 위의 표준적 [[전순서]] <math>\le_{K^{\operatorname{re}}}</math>를 <math>K</math>에 제한하면, 이는 <math>\le</math>와 같다.
이 경우 <math>K^{\operatorname{re}}</math>를 <math>K</math>의 '''실폐포'''(實閉包, {{llang|en|real closure}})라고 한다.

== 예 ==
다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다.
* 실수인 [[대수적 수]]들의 체 <math>\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb R</math>
* [[계산 가능한 수]]의 체
* [[정의 가능한 수]]의 체
* [[실수체]] <math>\mathbb R</math>
* 모든 [[초실수체]]
* 실수 계수의 [[퓌죄 급수]]들의 체 <math>\mathbb R((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots))</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | 언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=real closed field|title=Real closed field}}

{{전거 통제}}

[[분류:실폐체| ]]
[[분류:체론]]
[[분류:모형 이론]]