신속도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[특수상대성이론]]에서 '''신속도'''(迅速度, {{llang|en|rapidity}})는 물체의 빠르기를 나타내는 [[물리량]]이다. [[속도]]와 비슷한 개념인데, 물체가 느릴 때는 [[속도]]와 신속도가 대략 비례하지만, 매우 빠를 때는 더 이상 비례하지 않는다. 입자의 최대 속력은 [[빛의 속력]]으로 유한하지만, 신속도는 상한선이 없다. 또한, 속도와는 달리, 두 신속도의 합성은 단순히 그 합이다.

== 정의 ==
신속도 <math>\phi</math>는 다음과 같이 속력 <math>v</math>의 [[쌍곡각]]이다.
:<math>\phi = \operatorname{arctanh}(v/c)</math>.
여기서, ''c''는 [[빛의 속력]]이다. <math>v</math>가 빛의 속력에 비하여 매우 작으면
:<math>\phi\gtrsim v/c</math>
이어, 둘이 대략 비례하게 된다. 하지만 <math>v</math>가 빛의 속력에 가까우면
:<math>\phi\lesssim\frac12\log\frac{2c}{c-v}</math>
가 되어, 더 이상 비례하지 않는다. <math>v\to c</math>인 극한에는 <math>\phi\to\infty</math>인 것을 알 수 있다.

== 로런츠 변환의 기하학적 의미 ==
[[파일:Lorenca norma konfiguro.png|right|섬네일|300px|상대속도 ''v''로 움직이는 두 좌표계]]
[[로런츠 변환]]은 신속도를 사용하면 그 의미가 더 명확해진다. 상대속도 ''v'' 로 움직이는 두 관측자 ''O''(''t'', ''x'', ''y'', ''z'') 와 ''O<nowiki>'</nowiki>''(''t<nowiki>'</nowiki>'', ''x<nowiki>'</nowiki>'', ''y<nowiki>'</nowiki>'', ''z<nowiki>'</nowiki>'') 에 대한 [[로런츠 변환]]은 다음과 같다.
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
</math>
여기서, ''&beta;'' = <math>\scriptstyle \frac{v}{c}</math> , ''&gamma;'' = <math>\scriptstyle \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>이다. 이 변수들을 신속도를 사용해 쓰면 ''&beta;'' = tanh ''&phi;'' , ''&gamma;'' = cosh ''&phi;'' 가 된다. 이를 로런츠 변환식에 대입하자.
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cosh \phi & -\sinh \phi &0&0\\
-\sinh \phi & \cosh \phi &0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = {\Lambda^\mu}_\nu (\phi) \;x^\nu
</math>
위 결과로부터 위 변환은 ''c''<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup> - ''x''<sup>2</sup> 가 변하지 않는 변환임을 알 수 있다. 즉, 로런츠 변환은 ''ct''-''x'' 평면상의 일종의 쌍곡회전변환이고, 그 매개변수인 쌍곡각이 신속도이다.

== 속도 더하기 ==
[[파일:VelocityAddition.png|right|섬네일|300px|두 속도를 더했을 때 나오는 속도, 간단히 덧셈으로 더한 만큼 (빨간 선) 보다 더 빠른 속도가 나온다.]]

[[특수상대성이론]]에서는, 같은 방향의 두 속도 ''u'', ''v''를 더하면 ''u'' + ''v''처럼 간단하게 나오지 않는다. 더해진 속도 ''w''는 다음과 같다.
:<math>w = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}</math>
위 식을 각 속도의 신속도 ''&phi;''<sub>''u''</sub> , ''&phi;''<sub>''v''</sub> , ''&phi;''<sub>''w''</sub> 로 써보자.
:<math>\tanh \phi_w = \frac{\tanh \phi_u + \tanh \phi_v}{1+\tanh \phi_u \tanh \phi_v}</math>
오른쪽의 식은 쌍곡탄젠트함수의 합 공식을 활용하면 tanh (''&phi;''<sub>''u''</sub> + ''&phi;''<sub>''v''</sub>) 가 되고, 즉
:<math>\phi_w = \phi_u + \phi_v \;</math>
가 된다. 즉, 특수상대성이론에서는 속도가 아니라 신속도가 우리의 직관과 같은 간단한 합 공식을 가짐을 알 수 있다.

== 로런츠 군 ==
로런츠 변환들은 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 먼저, 신속도가 0인 로런츠 변환은 [[항등원]]이 된다.
:<math>{\Lambda^\mu}_\nu(0) = {\delta^\mu}_\nu</math>
회전변환과 마찬가지로, 로런츠 변환을 두 번 하면, 두 각의 크기를 합친 만큼 로런츠 변환을 한 것과 같은 결과가 나온다.
:<math>{\Lambda^\mu}_\rho (\phi_1) {\Lambda^\rho}_\nu (\phi_2) = {\Lambda^\mu}_\nu (\phi_1 + \phi_2)</math>
로런츠 변환의 역변환도 로런츠 변환이다.
:<math>{{\Lambda^{-1}}^\mu}_\nu(\phi) = {\Lambda^\mu}_\nu(-\phi) </math>
[[결합법칙]] 또한 두 번째 식으로부터 쉽게 유도할 수 있다. 그러므로, 로런츠 변환을 모아놓은 집합은 군이 된다. 로런츠 변환을 신속도로 대응시키는 [[사상 (범주론)|사상]]이 이 군과 [[실수]]의 덧셈군 ('''R''', +) 이 [[동형사상]]이 되고, 이 때문에 로런츠 변환을 모아놓은 군은 [[로런츠 군]]이라는 [[리 군]]이 된다.

각 방향의 로런츠 변환들과 회전변환, 경우에 따라선 [[반사 (선형대수학)|반사]]와 [[시간역전]]을 모두 모아놓으면 - ''c''<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>를 일정하게 해주는 변환들의 집합이 되는데 이 또한 군을 이루게 되고 이 군을 [[로런츠 군]]이라 한다.

== 같이 보기 ==
* [[로런츠 변환]]
* [[상대성이론]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자=Nicholas M.J. Woodhouse|제목= Special Relativity|url=https://archive.org/details/specialrelativit0000wood|연도=2003|출판사=Springer}}

[[분류:특수 상대성이론]]