신발끈 공식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''신발끈 공식'''(―公式)은 [[좌표평면]] 상에서 꼭짓점의 좌표를 알 때 [[다각형]]의 [[면적]]을 구할 수 있는 방법이다. 다각형의 각 꼭짓점의 좌푯값을 교차하여 곱하는 모습이 [[신발끈]]을 묶을 때와 같아 이러한 이름이 붙었다.<ref name="mathreference">{{웹 인용|last=Dahlke|first=Karl|title=Shoelace Formula|url=http://www.mathreference.com/la-det,shoe.html|accessdate=9 June 2008}}</ref> '''[[카를 프리드리히 가우스|가우스]]의 면적 공식'''이나 '''사선 공식'''(斜線 公式)으로도 불린다. 이 공식은 측량이나 임업과 같은 여러 분야에도 응용될 수 있다.<ref name="Pretzsch">Hans Pretzsch, ''[http://books.google.com.au/books?id=ZLNZMCSuUAQC&pg=PA232 Forest Dynamics, Growth and Yield: From Measurement to Model]'', Springer, 2009, {{ISBN|3-540-88306-1}}, p. 232.</ref>

신발끈 공식은 1769년에 [[수학자]] 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724-1788)가 발견했으며<ref>{{인용
 | last = Meister | first = A. L. F.
 | journal = Nov. Com. Gött.
 |language=라틴어
 | page = 144
 | title = Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus
 | url = http://books.google.com/books?id=fOE_AAAAcAAJ
 | volume = 1
 | year = 1769}}.</ref>, 1795년에 가우스도 독립적으로 발견하였다. 이 공식은 다각형을 여러 개의 [[삼각형]]으로 나누는 방식으로 증명할 수 있으며, [[그린 정리]]의 특수한 형태로 볼 수도 있다.

이 공식은 다각형에서 각각의 모서리마다 임의의 [[선분]] AB를 잡고, [[원점]] O를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABO의 넓이를 계산하여, 평행사변형의 넓이와 같은 [[벡터곱]]을 구하고 2로 나눔으로써 유도된다. 다각형 주변을 감싸게 되면, 양의 면적과 음의 면적을 지니는 이 삼각형들은 겹쳐지고 원점과 다각형 사이의 면적이 상쇄되어 0이 되는데, 이때 기준으로 한 삼각형의 면적만은 남게 된다. 원점에서 바라볼 때 반시계 방향으로 돈다면, 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 양의 면적이 더해지고, 오른쪽에서 왼쪽으로 가면서 음의 면적이 더해진다.

이 공식은 두 개 이상의 변들이 서로 교차하는 형태의 다각형이 아니라면, 볼록다각형이든 오목다각형이든 관계없이 적용시킬 수 있다.

== 정의 ==
다각형의 면적을 <math>A</math>로, 다각형의 변의 개수를 <math>n</math>로, <math>i=1,2,\cdots,n</math>에 대하여 꼭짓점의 좌표를 <math>(x_i, y_i)</math>로 나타낼 때, 신발끈 공식은 다음과 같다.

: <math> \begin{align} \mathbf{A} & = {1 \over 2} \Big | \sum_{i=1}^{n-1} x_iy_{i+1} + x_ny_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1}y_i - x_1y_n \Big | \\
 & = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_{n-1}y_n + x_ny_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - \cdots - x_ny_{n-1} - x_1y_n| \\ \end{align} </math>

또는, 다음과 같이 나타낼 수도 있다.<ref name="Pretzsch" /><ref name="AoPSWiki"> 왜지[http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Shoelace_Theorem Shoelace Theorem], ''Art of Problem Solving Wiki''.</ref><ref name="Wolfram MathWorld">{{웹 인용|url=http://mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html|title=Polygon Area|accessdate=24 July 2012|last=Weisstein|first=Eric W|authorlink=에릭 웨이스타인|work=Wolfram MathWorld}}</ref> (단, <math>x_{n+1}=x_1, x_0=x_n, y_{n+1}=y_1, y_0=y_n</math>이다.)

: <math>\mathbf{A} = {1 \over 2} \Big | \sum_{i=1}^{n} x_i(y_{i+1}-y_{i-1}) \Big | = {1 \over 2} \Big | \sum_{i=1}^{n} y_i(x_{i+1}-x_{i-1}) \Big | = {1 \over 2} \Big | \sum_{i=1}^{n} x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i \Big | = {1 \over 2} \Big | \sum_{i=1}^{n} \det\begin{pmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{pmatrix} \Big | </math>

꼭짓점들에 반시계방향으로 차례로 번호를 매긴다면, 위의 [[행렬식]]은 양의 값을 지니므로 [[절댓값]] 부호를 생략할 수 있다.<ref name="Braden">{{저널 인용|author=Bart Braden|title=The Surveyor’s Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|year=1986|pages=326–337|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/Calc_Articles/ma063.pdf|doi=10.2307/2686282|access-date=2016-06-05|archive-date=2015-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20150406152731/http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/Calc_Articles/ma063.pdf|url-status=}}</ref> 번호가 시계방향으로 차례로 매겨진다면 행렬식은 음의 값을 지니게 된다. 이는 신발끈 공식을 [[그린 정리]]의 특수한 경우로 볼 수 있기 때문이다.

== 예시 ==
이 공식으로 다각형의 넓이를 구하기 위해서는 [[직교 좌표계|좌표평면]] 위에서의 좌푯값을 알아야 한다.

1번째 <math>x</math>좌표를 2번째 <math>y</math>좌표와 곱하고, 2번째 <math>x</math>좌표를 3번째 <math>y</math>좌표와 곱하고, 3번째 <math>x</math>좌표를 1번째 <math>y</math>좌표와 곱해 모두 더한 값과, 1번째 <math>y</math>좌표를 2번째 <math>x</math>좌표와 곱하고, 2번째 <math>y</math>좌표를 3번째 <math>x</math>좌표와 곱하고, 3번째 <math>y</math>좌표를 1번째 <math>x</math>좌표와 곱한 값을 모두 더한 값의 차를 구해 <math>2</math>로 나누면 삼각형의 넓이는 다음과 같은 공식으로 나타내어진다.<ref>{{서적 인용|title=Geometry for Enjoyment and Challenge|url=https://archive.org/details/geometryforenjoy00geor|year=1991|publisher=McDougal Littell|isbn=0-86609-965-4|author=Richard Rhoad|edition=new|author2=George Milauskas |author3=Robert Whipple |pages=[https://archive.org/details/geometryforenjoy00geor/page/n748 717]–718}}</ref>

: <math> \mathbf{A}_\text{3} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3| </math>

이때 <math>x_i, y_i</math>는 각 꼭짓점의 좌푯값을 나타낸다. 예를 들어, 꼭짓점의 좌표가 <math>(2,1), (4,5), (7,8)</math>인 [[삼각형]]을 생각하면, 그 넓이는 <math>10+32+7-4-35-16</math>의 절댓값의 절반인 <math>3</math>이 된다. 여기서는 단지 <math>n=3</math>일 때의 경우만을 보였을 뿐으로, 공식은 다각형의 변의 수에 따라 달라진다.

<math>i=1,2,3,4</math>일 때 [[사각형]]의 넓이는 아래와 같이 구한다.

: <math> \mathbf{A}_\text{4} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 +x_3y_4 + x_4y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_4y_3 - x_1y_4| </math>

<math>i=1,2,\cdots,5</math>일 때 [[오각형]]의 넓이는 아래와 같이 구한다.

: <math> \mathbf{A}_\text{5} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_4y_3 - x_5y_4 - x_1y_5|</math>

볼록다각형이 아닌 오목다각형에서도 똑같은 방법을 사용할 수 있다. 좌표가 <math>(3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6)</math>인 아래와 같은 다각형을 생각하자.

[[파일:polygon area formula (English).svg|섬네일|[[오목다각형]]의 예시]]

이 도형의 넓이는
: <math>\begin{align}
\mathbf{A} & = {1 \over 2}|3 \times 11 + 5 \times 8 + 12 \times 5 + 9 \times 6 + 5 \times 4 \\
& {} \qquad {} - 4 \times 5 - 11 \times 12 - 8 \times 9 - 5 \times 5 - 6 \times 3| \\[10pt]
& = {60 \over 2}  = 30
\end{align}</math>
이다.

== 이름의 유래 ==
이 공식은 보통 [[행렬]]의 형태를 이용하여 쓰이는데, 그 꼴이 [[신발끈]]을 묶는 모양과 비슷하여 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다. 꼭짓점의 [[좌표]]가 차례로 <math>(2,4), (3,-8), (1,2)</math>인 [[삼각형]]을 생각하자. 각 꼭짓점의 좌푯값을 <math>(2,4)</math>에서부터 시작해 차례대로 적고, 그 아래에 다시 <math>(2,4)</math>를 적어 행렬의 꼴로 나타내면 다음과 같다.<ref>IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi</ref>

:: <math> \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -8 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}</math>

우선 왼쪽 위에서 오른쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그으면 아래와 같이 된다.

[[파일:ShoelaceMatrix2.GIF]]

이때 선으로 연결된 두 숫자를 곱해서 모두 더하면, <math>2\times(-8)+3\times2+1\times4=-6</math>이다. 또, 오른쪽 위에서 왼쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그어 연결하면 아래와 같아진다.
:[[파일:ShoelaceMatrix3.GIF]]
마찬가지로 이어진 두 수를 곱해 모두 더한 값은 <math>4\times3+(-8)\times1+2\times2=8</math>이다. 여기서 두 값의 차의 절댓값에 <math>\frac{1}{2}</math>을 곱하면 <math>\frac{1}{2}\left| 8-(-6) \right|=7</math>이므로 이 삼각형의 넓이는 7이다.

이렇게 숫자를 모두 적어 선분으로 이은 꼴이 [[신발끈]]이 묶인 [[신발]]의 모양과 같아, 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다.

== 같이 보기 ==
* [[면적기]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:기하 알고리즘]]
[[분류:측량학]]
[[분류:넓이]]