시작 대상과 끝 대상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''시작 대상'''(始作對象, {{llang|en|initial object}})과 '''끝 대상'''(-對象, {{llang|en|terminal object}})은 매우 단순하여, 이 대상을 [[정의역]] 또는 [[공역]]으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 모든 <math>Y\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)</math>가 하나의 원소만을 갖는다면, <math>X</math>를 <math>\mathcal C</math>에서의 '''시작 대상'''이라고 한다.
* 만약 모든 <math>Y\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>\hom(Y,X)</math>가 하나의 원소만을 갖는다면, <math>X</math>를 <math>\mathcal C</math>에서의 '''끝 대상'''이라고 한다.
* 만약 <math>X</math>가 <math>\mathcal C</math>에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, <math>X</math>를 <math>\mathcal C</math>에서의 '''영 대상'''(零對象, {{llang|en|zero object}})이라고 한다.

== 성질 ==
모든 [[대수 구조 다양체]]의 범주는 ([[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 [[한원소 집합]] 위의 [[대수 구조]]이며, 끝 대상은 [[한원소 집합]]으로 생성되는 [[자유 대수]]이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 [[아벨 범주]]는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

== 예 ==
{| class="wikitable"
|-
! 범주 !! 시작 대상 !! 끝 대상
|-
| [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> || [[공집합]] <math>\varnothing</math> || [[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || 공공간 <math>\varnothing</math> || [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피]] 범주 <math>\operatorname{hTop}</math> || 공공간 <math>\varnothing</math> || [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>
|-
| [[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> || 공범주 <math>0</math> || 하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 <math>\mathbf1</math>
|-
| [[모노이드]]의 범주 <math>\operatorname{Mon}</math>
| colspan=2 | 자명 모노이드
|-
| [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>
| colspan=2 | [[자명군]] 1
|-
| [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>
| colspan=2 | [[자명군]] 0
|-
| (단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]]의 범주 || [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> || [[자명환]] 0
|-
| (단위원을 갖는) [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math> || [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> || [[자명환]] 0
|-
| [[유사환]]의 범주 <math>\operatorname{Rng}</math>
| colspan=2 | [[자명환]] 0
|-
| [[아핀 스킴]]의 범주 <math>\operatorname{Aff}\simeq\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math> || 자명환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}0=\varnothing</math> || 정수환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>
|-
| [[스킴 (수학)|스킴]]의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> || 자명환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}0=\varnothing</math> || 정수환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>
|-
| [[체 (수학)|체]]의 범주 <math>\operatorname{Field}</math>
| colspan=2 | (없음)
|-
| 범주로 간주한 [[부분 순서 집합]] (<math>\hom(a,b)\ne\varnothing\iff a\le b</math>) || (만약 존재한다면) [[최소 원소]] || (만약 존재한다면) [[최대 원소]]
|-
| 범주로 간주한, 자명하지 않은 [[모노이드]]
| colspan=2 | (없음)
|-
| 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 <math>1=\{\bullet\}</math>
| colspan=2 | 유일한 대상 <math>\bullet</math>
|}

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Final object}}
* {{매스월드|id=InitialObject|title=Initial object}}
* {{매스월드|id=TerminalObject|title=Terminal object}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]