시그마 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''시그마 대수'''(σ代數, {{llang|en|sigma-algebra}})는 [[가산 집합|가산]] [[상한]]과 [[하한]]을 갖는 [[불 대수]]이다. 시그마 대수의 원소 위에 [[측도]]를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
=== 시그마 대수 ===
[[불 대수]] <math>\Sigma</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 [[불 대수]]를 '''(추상적) 시그마 대수'''({{llang|en|(abstract) sigma-algebra}})라고 한다.<ref name="Tao">{{서적 인용|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2010/02/epsilon.pdf|제목=An epsilon of room I: real analysis. Pages from year three of a mathematical blog|출판사=American Mathematical Society|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=117|isbn=978-0-8218-5278-1|날짜=2010|언어=en}}</ref>{{rp|§2.3}}<ref name="KP">{{저널 인용|arxiv=1101.3762|제목=Categorical geometry and integration without points|이름=Igor|성=Kriz|이름2=Aleš|성2=Pultr|bibcode=2011arXiv1101.3762K|날짜=2014-02|저널=Applied Categorical Structures|issn=0927-2852|권=22|호=1|쪽=79-97|doi=10.1007/s10485-012-9295-2|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1}}
* (가산 상완비성) <math>\Sigma</math>의 임의의 [[가산 집합|가산 부분 집합]]은 [[상한]]을 갖는다.
* (가산 하완비성) <math>\Sigma</math>의 임의의 [[가산 집합|가산 부분 집합]]은 [[하한]]을 갖는다.

=== 시그마 대수 준동형 ===
두 시그마 대수 <math>\Sigma</math>, <math>\Sigma'</math> 사이의 '''시그마 대수 준동형'''({{llang|en|sigma-algebra homomorphism}}) <math>f\colon\Sigma\to\Sigma'</math>은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]]이다.
* 임의의 가산 부분 집합 <math>A\subseteq\Sigma</math>에 대하여, <math>\textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)</math>이다. (특히, <math>A=\varnothing</math>일 경우, <math>f(\bot_\Sigma)=\bot_{\Sigma'}</math>이다.)
* 임의의 가산 부분 집합 <math>A\subseteq\Sigma</math>에 대하여, <math>\textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)</math>이다. (특히, <math>A=\varnothing</math>일 경우, <math>f(\top_\Sigma)=\top_{\Sigma'}</math>이다.)
* 임의의 원소 <math>s\in\Sigma</math>에 대하여, <math>\textstyle f(\lnot s)=\bigvee f(\lnot s)</math>이다.
여기서 <math>\top</math>과 <math>\bot</math>은 각각 [[최대 원소]]와 [[최소 원소]]를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{\sigma Alg}</math>를 이룬다.

=== 시그마 아이디얼 ===
시그마 대수 <math>\Sigma</math>의 '''시그마 아이디얼'''({{llang|en|sigma-ideal}})은 다음 조건들을 만족시키는 [[순서 아이디얼]] <math>I\subseteq\Sigma</math>이다.<ref name="Tao"/>{{rp|Definition 2.3.7}}
* 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 [[가산 집합|가산 부분 집합]] <math>I'\subseteq I</math>에 대하여, <math>\textstyle\sup_\Sigma I'\in I</math>이다.

[[불 대수]]는 [[가환환]]을 이루며, 불 대수의 [[순서 아이디얼]]은 [[아이디얼]]을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 <math>\Sigma/I</math>를 정의할 수 있으며, <math>I</math>가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 '''몫 시그마 대수''' <math>\Sigma/I</math>라고 한다.<ref name="Tao"/>{{rp|Definition 2.3.7}}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
|| || || || || [[완비 격자]] || ⇐ || [[완비 헤이팅 대수]] || ⇐ || [[완비 불 대수]]
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
|| || || || || ⇓ || || ⇓ || || 시그마 대수
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
| [[원순서 집합]] || ⇐ || [[부분 순서 집합]] || ⇐ || [[유계 격자]] || ⇐ || [[헤이팅 대수]] || ⇐ || [[불 대수]]
|}

=== 분배 법칙 ===
시그마 대수 <math>\Sigma</math>의 원소 <math>a,b_0,b_1,\dots\in\Sigma</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="KP"/>{{rp|(1)}}
:<math>a\land\bigvee_{i=0}^\infty b_i=\bigvee_{i=0}^\infty(a\land b_i)</math>
:<math>a\lor\bigwedge_{i=0}^\infty b_i=\bigwedge_{i=0}^\infty(a\lor b_i)</math>

=== 크기 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=A note on complete Boolean algebras|이름=R. S.|성=Pierce|doi=10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6 |저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=9|날짜=1958|쪽=892–896|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|url=http://msp.org/pjm/1972/40-3/pjm-v40-n3-p03-p.pdf|제목=Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras|날짜=1972|이름=W. W.|성=Comfort|이름2=Anthony W.|성2=Hager|저널=Pacific Journal of Mathematics|mr=0307997|zbl=0232.06008|권=40|호=3|쪽=541–545|언어=en|확인날짜=2016-07-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160817050954/http://msp.org/pjm/1972/40-3/pjm-v40-n3-p03-p.pdf|보존날짜=2016-08-17|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J. Donald|성=Monk|이름2=Paul R.|성2=Sparks|제목=Counting Boolean algebras|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=18|날짜=1971|쪽=551–551|언어=en}}</ref>
* <math>|B|=\kappa</math>인 [[완비 불 대수]] <math>B</math>가 존재한다.
* <math>|B|=\kappa</math>인 시그마 대수 <math>B</math>가 존재한다.
* 만약 <math>\kappa</math>가 무한 기수라면, <math>\kappa^{\aleph_0}=\kappa</math>이다. 만약 <math>\kappa</math>가 유한 기수라면, <math>\kappa=2^n</math>인 기수 <math>n</math>이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 <math>2^{\aleph_0}</math> 이상이며, [[가산 무한]] 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 [[불 대수]]는 [[가산 무한]] [[반사슬]]을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 [[반사슬]]의 부분 집합들의 [[상한]](또는 [[하한]])들의 수는 <math>2^{\aleph_0}</math>이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 [[불 대수]]이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>와 동형이다.

=== 루미스-시코르스키 표현 정리 ===
'''루미스-시코르스키 표현 정리'''(Loomis-Sikorski表現定理, {{llang|en|Loomis–Sikorski representation theorem}})에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 <math>\Sigma</math>에 대하여,
:<math>\Sigma\cong\Sigma'/I</math>
가 되는
* [[집합]] <math>X</math>
* 시그마 대수 <math>\Sigma'\subseteq\mathcal P(X)</math>
* <math>\Sigma'</math>의 시그마 아이디얼 <math>I\subseteq\Sigma'</math>
가 존재한다.<ref name="Tao"/>{{rp|2.3.10}}<ref>{{서적 인용|날짜=2002|제목=Boolean algebras in analysis|성=Vladimirov|이름=D. A.|doi=10.1007/978-94-017-0936-1|isbn=978-1-4020-0480-3|출판사=Springer-Verlag|총서=Mathematics and its Applications|url=http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/vladimirov.pdf|권=540|언어=en}}</ref>{{rp|167, Theorem 5.8}}<ref>{{서적 인용|이름=Garrett|성= Birkhoff|저자링크=개릿 버코프|날짜=1967|제목=Lattice theory|판=3판|권=25|총서=AMS Colloquium Publications|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>{{rp|255, Theorem XI.3}}<ref name="Loomis"/> 그러나 일반적으로 <math>I=\varnothing</math>이 아닐 수 있다. 즉, [[멱집합]]의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

=== 범주론적 성질 ===
시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) [[대수 구조 다양체]] 범주이므로, [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며, 또한 [[자유 대수|자유]] 시그마 대수가 존재한다.

== 예 ==
집합 <math>X</math>의 [[멱집합]]은 [[완비 격자|완비]] [[불 대수]]이므로 시그마 대수이다.

=== 측도 공간 ===
[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math>에서, <math>\Sigma\subseteq\mathcal P(X)</math>는 정의에 따라 <math>\mathcal P(X)</math>의 부분 시그마 대수이다.

[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에서, <math>\mu</math>-[[영집합]]들의 족
:<math>\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\}</math>
은 <math>\Sigma</math>의 시그마 아이디얼을 이루며, <math>\Sigma/\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)</math>는 시그마 대수를 이룬다.

=== 구체적이지 않은 시그마 대수 ===
폐구간의 [[보렐 시그마 대수]] <math>\operatorname{Borel}([0,1])</math>에서, [[르베그 측도]]가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 <math>\operatorname{Null}([0,1])\subseteq \operatorname{Borel}([0,1])</math>을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 <math>\operatorname{Borel}([0,1])/\operatorname{Null}([0,1])</math>는 [[멱집합]] 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.<ref name="Tao"/>{{rp|Proposition 2.3.9}}

== 역사와 어원 ==
"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "[[가산 무한]]"을 뜻한다.<ref>{{서적 인용
|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf
|형식=PDF
|성=Tao
|이름=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=An introduction to measure theory
|언어=en
|총서=Graduate Studies in Mathematics
|권=126
|출판사=American Mathematical Society
|날짜=2011
|isbn=978-0-8218-6919-2
|zbl=1231.28001
}}</ref>{{rp|Remark 1.4.13}} 즉, 임의의 [[불 대수]]에서 [[유한 집합]]의 [[상한]]·[[하한]]이 존재하는 조건을 [[가산 집합]]으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스({{llang|en|Lynn Harold Loomis}}, 1915~1994)<ref name="Loomis">{{저널 인용|성=Loomis|이름=Lynn Harold|제목=On the representation of σ-complete Boolean algebras|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|issn=0273-0979|권=53|날짜=1947|쪽=757–760|mr=21084|zbl=0033.01103|doi=10.1090/S0002-9904-1947-08866-2|언어=en}}</ref>와 로만 시코르스키({{llang|pl|Roman Sikorski}}, 1925~1983)<ref>{{저널 인용|이름=Roman|성=Sikorski|저널=Fundamenta Mathematicae|제목=On the representation of Boolean algebras as fields of sets|issn=0016-2736|권=35|호=1|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv35i1p23|쪽=247–258|날짜=1948|언어=en|확인날짜=2016-07-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160817074001/http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv35i1p23|보존날짜=2016-08-17|url-status=dead}}</ref>{{rp|256, Theorem 5.3}}가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebra of sets}}
* {{매스월드|id=Sigma-Algebra|title=Sigma-algebra}}
* {{nlab|id=sigma-algebra|title=Sigma-algebra}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2010/09/25/245a-notes-3-integration-on-abstract-measure-spaces-and-the-convergence-theorems/|제목=245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/12/245b-notes-1-the-stone-and-loomis-sikorski-representation-theorems-optional/|제목=245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Sigma-Algebra|제목=Definition: sigma-algebra|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-30|보존url=https://web.archive.org/web/20130915080254/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Sigma-Algebra|보존날짜=2013-09-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Sigma-Algebra|제목=Equivalence of definitions of sigma-algebra|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-30|archive-date=2020-12-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20201202070706/https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Sigma-Algebra|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:순서론]]
[[분류:집합족]]