시공간 대수 문서 원본 보기

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'''시공간 대수'''({{llang|en|Spacetime algebra}})는 관성계에 해당하는 [[시공간]]의 수학적 모형인 [[민코프스키 공간]]과 연관된 [[클리퍼드 대수]]의 일종인 <math>\text{Cl}_{1,3}(\mathbb R)</math> 또는 동등하게 [[기하적 대수학|기하적 대수]] <math>G(M^4)</math>를 [[수리물리학]]에서 일컫는 단어다. 데이비드 헤세테네스에 따르면 시공간 대수은 [[특수 상대성이론]] 및 상대론적 [[시공간]]의 기하학과 특히 밀접하게 연관될 수 있다.

시공간 대수는 [[유클리드 벡터|벡터]] 뿐만 아니라 쌍벡터(면적 또는 회전과 같은 특정 평면과 관련된 지시된 양) 또는 블레이드 (특정 초부피와 관련된 양)가 결합되고 [[로런츠 변환|로런츠 부스트]], [[회전]], [[반사 (기하학)|반사]]를 허용하는 [[벡터 공간|선형 공간]]이다. 또한 특수 상대성 이론에서 [[스피너]]를 포함하는 자연스러운 상위 대수이다. 이러한 속성 때문에 물리학에서 중요한 많은 방정식들을 단순한 형태로 표현할 수 있으며, 그 의미를 보다 [[기하학]]적으로 이해하는 데 큰 도움이 될 수 있다.

== 구조 ==
시공간 대수는 시간꼴 벡터 <math>\gamma_0</math>와 세 개의 공간꼴 벡터들 <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3</math>이 이루는 직교 기저와 다음 곱셈 규칙

: <math> \gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu} </math>

으로부터 구축될 수 있다. 여기서 <math>\eta_{\mu \nu}</math>는 부호수 {{개행 금지|(+ − − −)}}인 [[민코프스키 공간|민코프스키 계량]]이다.

따라서, <math>\gamma_0^2 = {+1}</math>, <math>\gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = {-1}</math>이고, 그렇지 않으면 <math>\gamma_\mu \gamma_\nu = - \gamma_\nu \gamma_\mu</math>이다.

기저 벡터 <math>\gamma_k</math>는 이러한 성질은 [[디랙 행렬]]과 동일하지만 시공간 대수에서 행렬 표현을 사용할 필요는 없다.

이눈 1개의 [[스칼라 (수학)|스칼라]] <math>1</math>, 4개의 [[유클리드 벡터|벡터]]들<math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3</math>, 6개의 쌍벡터들 <math>\gamma_0\gamma_1, \, \gamma_0\gamma_2,\, \gamma_0\gamma_3, \, \gamma_1\gamma_2, \, \gamma_2\gamma_3, \, \gamma_3\gamma_1</math>, 4개의 [[유사벡터]]들 <math>i\gamma_0, i\gamma_1, i\gamma_2, i\gamma_3</math> 하나의 유사스칼라 <math>i</math> 로 이뤄진 기저를 생성한다. 여기서 <math>i=\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3</math>.

== 상호 틀 ==
직교 기저와 연관된 <math>\{\gamma_\mu\}</math>는 <math>\mu = 0, \dots, 3</math>에 대해 <math>\{\gamma^\mu = {\gamma_\mu}^{-1}\}</math>이며

: <math>\gamma_\mu \cdot \gamma^\nu = {\delta_\mu}^\nu</math>

가 성립하는 상호 기저이다.

이러한 상호 틀 벡터는 부호만 다르다. <math>k = 1, \dots, 3</math>에 대해 <math>\gamma^0 = \gamma_0</math>, <math>\gamma^k = -\gamma_k</math>.

벡터는 [[아인슈타인 표기법]]에 따라 <math>\mu = 0, \dots, 3</math>에 대한 합인 위 또는 아래 첨자 좌표 <math>a = a^\mu \gamma_\mu = a_\mu \gamma^\mu</math>로 표시될 수 있다. 여기서 좌표는 기저 벡터 또는 그 역수로 내적을 취하여 추출할 수 있다.

: <math>\begin{align}a \cdot \gamma^\nu &= a^\nu \\ a \cdot \gamma_\nu &= a_\nu .\end{align}</math>

== 시공간 기울기 ==
시공간 기울기는 유클리드 공간의 기울기와 마찬가지로 방향 미분 관계가 충족되도록 정의된다.

: <math>a \cdot \nabla F(x)= \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{F(x + a\tau) - F(x)}{\tau} .</math>

이를 위해서는 기울기의 정의가 다음과 같아야 한다.

: <math> \nabla = \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \gamma^\mu \partial_\mu .</math>

여기서 <math>x = ct \gamma_0 + x^k \gamma_k</math> 이고,

: <math> \partial_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_k = \frac{\partial}{\partial {x^k}} </math>.

== 시공간 분할 ==
{| style="margin:0 1em 1em; text-align:left; border:1px solid black; padding:10px; float:right;"
|<u>시공간 분할 – 예:</u>
|-
| <math>x \gamma_0 = x^0 + \mathbf{x}</math>
|-
| <math>p \gamma_0 = E + \mathbf{p}</math><ref name="lasenby-et-el-2002-p257">{{서적 인용|제목=Advances in the interplay between quantum and gravity physics|url=https://archive.org/details/isbn_9781402005930|성=Lasenby|이름=A.N.|성2=Doran|이름2=C.J.L.|연도=2002|편집자-성=Bergmann|편집자-이름=P.G.|편집자2-성=De Sabbata|편집자2-이름=Venzo|출판사=Springer|쪽=256-283, See p. [https://books.google.com/books?id=8J8ZEHOOAgoC&pg=PA257 257]|장=Geometric algebra, Dirac wavefunctions and black holes|isbn=978-1-4020-0593-0}}</ref>
|-
| <math>v \gamma_0 = \gamma (1 + \mathbf{v})</math><ref name="lasenby-et-el-2002-p257" />
|-
| 여기서 <math>\gamma</math> [[로런츠 인자]]
|-
|-
| <math>\nabla\gamma_0 = \partial_t - \nabla</math><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lasenby|Doran|2002|p=[https://books.google.com/books?id=8J8ZEHOOAgoC&pg=PA259 259]}}</ref>
|}
시공간 대수에서 '''시공간 분할'''은 다음 두 가지 작업을 통해 선택한 기준 틀을 사용하여 4차원 공간에서 (3+1)차원 공간으로 가는 사영이다:

* 선택한 시간 축의 붕괴로 쌍벡터에 걸쳐 있는 3D 공간 생성
* 4D 공간을 선택한 시간 축에 투영하여 스칼라의 1D 공간을 생성한다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=rxGCaDvBCoAC&pg=PA180|제목=Understanding Geometric Algebra for Electromagnetic Theory|성=Arthur|이름=John W.|연도=2011|총서=IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory|출판사=Wiley|쪽=180|isbn=978-0-470-94163-8}}</ref>

이것은 시간꼴 기저 벡터 <math>\gamma_0</math>에 의한 사전 또는 사후 곱셈에 의해 달성된다. 이는 4개의 벡터를 스칼라 시간꼴 및 쌍벡터 공간꼴 구성원소로 분할하는 역할을 한다. <math>x = x^\mu \gamma_\mu</math>에 대해,

: <math>
\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \gamma_k \gamma_0 \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \gamma_k \gamma_0 \end{align}
</math>

이다. 이러한 쌍벡터 <math>\gamma_k \gamma_0</math>들은 공간적 기저 역할을 한다. [[파울리 행렬]] 표기법을 사용하여 <math>\sigma_k = \gamma_k \gamma_0</math>과 같이 적을 수 있다. 시공간 대수의 공간 벡터는 굵은 글씨체로 표시된다. 그러면, <math>\gamma_0</math>-시공간 분할 <math>x \gamma_0</math>과 그 반대 <math>\gamma_0 x</math>는 다음과 같다:

: <math>
\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \sigma_k = x^0 + \mathbf{x} \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \sigma_k = x^0 - \mathbf{x} \end{align}
</math>

여기서 <math>\mathbf{x} = x^k \sigma_k</math>이다.

== 다중 벡터 나눗셈 ==
시공간 대수는 [[멱등법칙|멱등원]] <math>\tfrac{1}{2}(1 \pm \gamma_0\gamma_i)</math>과 0이 아닌 [[영인자]]들: <math>1 + \gamma_0\gamma_i, 1 - \gamma_0\gamma_i </math>을 포함하기 때문에 나눗셈 대수가 아니다. 이들은 각각 [[광추|빛원뿔]]로의 사영 및 이러한 사영에 대한 직교성 관계로 해석될 수 있다. 그러나 어떤 경우에는 하나의 다중 벡터 양을 다른 양으로 나누고 그 결과를 이해하는 것이 가능하다.

== 비상대론적 물리학의 시공간 대수 설명 ==
=== 비상대론적 양자역학 ===
시공간 대수는 행렬 이론 대신 [[실수|실수적]] 이론의 관점에서 파울리 입자의 설명을 허용한다. 파울리 입자의 행렬 이론 설명은 다음과 같다.<ref name="hestenes-oersted-medal-lecture-eq75-eq81">See eqs. (75) and (81) in: {{괄호 없는 하버드 인용|Hestenes|Oersted Medal Lecture|2002}}</ref>

: <math>i \hbar \, \partial_t \Psi = H_S \Psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \hat\sigma \cdot \mathbf{B} \Psi ,</math>

여기서 <math>\Psi</math>는 [[스피너]]이다, <math>i</math>는 기하학적 해석이 없는 허수 단위, <math>\hat\sigma_i</math>들은 파울리 행렬이다('hat' 표기법은 <math>\hat\sigma</math>가 행렬 연산자이며 기하 대수학의 원소가 아님을 나타낸다.) <math>H_S</math>는 슈뢰딩거 해밀토니안이다. 시공간 대수에서 파울리 입자는 ''실 파울리-슈뢰딩거 방정식으로 설명된다.''<ref name="hestenes-oersted-medal-lecture-eq75-eq81">See eqs. (75) and (81) in: {{괄호 없는 하버드 인용|Hestenes|Oersted Medal Lecture|2002}}</ref>

: <math>\partial_t \psi \, i \sigma_3 \, \hbar = H_S \psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \mathbf{B} \psi \sigma_3 ,</math>

지금 여기서 <math>i</math>는 단위 유사 스칼라 <math>i = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3</math>이며, <math>\sigma_3</math>와 짝수 다중 벡터 <math>\psi</math>는 기하 대수의 원소이며, <math>H_S</math>는 다시 슈뢰딩거 해밀토니안이다. 헤스테네스는 자기장을 포함하는 항을 빼면 이 이론이 슈뢰딩거 이론으로 환원된다는 점을 강조하기 위해 이를 ''실 파울리-슈뢰딩거 이론''이라고 부른다.

== 상대론적 물리학의 시공간 대수 설명 ==
=== 상대론적 양자역학 ===
상대론적 양자 파동함수는 때때로 스피너 장

: <math> \psi = e^{\frac{1}{2} ( \mu + \beta i + \phi )}</math>

으로 표현된다. 여기서 <math>\phi</math>는 쌍벡터이고<ref name="hestenes-1990-eq3-1-eq4-1">See eq. (3.1) and similarly eq. (4.1), and subsequent pages, in: {{서적 인용|제목=Maximum Entropy and Bayesian Methods|성=Hestenes|이름=D.|날짜=2012|편집자-성=Fougère|편집자-이름=P.F.|출판사=Springer|쪽=161–183|장=On decoupling probability from kinematics in quantum mechanics|원본연도=1990|isbn=978-94-009-0683-9}} ([http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/Decouple.pdf PDF] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20221029095221/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/Decouple.pdf}})</ref><ref>See also eq. (5.13) of {{웹 인용|url=http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/imag_numbs.pdf|제목=Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime|성=Gull|이름=S.|성2=Lasenby|이름2=A.|날짜=1993|성3=Doran|이름3=C.|확인날짜=2023-01-04|archive-date=2022-10-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20221024034546/https://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/imag_numbs.pdf|url-status=}}</ref>

: <math> \psi = R (\rho e^{i \beta})^\frac{1}{2}.</math>

데이비드 헤스테네스의 미분에 따르면, <math> \psi = \psi(x)</math>는 시공간에서 짝수 다중 벡터 값 함수이며, <math>R = R(x)</math>는 유니모듈러 스피너(또는 "회전자"<ref name="hestenes-eq-205">See eq. (205) in {{저널 인용|제목=Spacetime physics with geometric algebra|저널=American Journal of Physics|성=Hestenes|이름=D.|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/SpacetimePhysics.pdf|날짜=June 2003|권=71|호=6|쪽=691–714|bibcode=2003AmJPh..71..691H|doi=10.1119/1.1571836|access-date=2023-01-04|archive-date=2023-01-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230104061044/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/SpacetimePhysics.pdf|url-status=}}</ref>)이고, <math> \rho = \rho(x)</math>와<math> \beta = \beta(x)</math>는 스칼라 값 함수이다.<ref name="hestenes-1990-eq3-1-eq4-1"/>

이 방정식은 스핀을 허수 유사 스칼라와 연결하는 것으로 해석된다.<ref>{{저널 인용|제목=Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical language of physics|저널=American Journal of Physics|성=Hestenes|이름=David|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/OerstedMedalLecture.pdf|연도=2003|권=71|호=2|쪽=104|bibcode=2003AmJPh..71..104H|doi=10.1119/1.1522700|ref={{harvid|Hestenes|Oersted Medal Lecture|2002}}|access-date=2023-01-04|archive-date=2023-01-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230104061051/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/OerstedMedalLecture.pdf|url-status=}}</ref> <math>R</math>은 <math>\gamma_\mu</math> 벡터들의 틀에서 <math>e_\mu</math> 벡터들의 다른 틀으로 <math>e_\mu = R \gamma_\mu \tilde{R}</math> 작용에 의한 로런츠 회전으로 여겨진다.<ref name="hestenes-eq-205"/> 여기서 물결 기호는 ''반전''을 나타낸다(반대는 종종 단검 기호로도 표시된다. [[기하적 대수학|기하적 대수의 회전]] 참조).

이것은 국소적으로 변화하는 벡터 및 스칼라 값 관찰 가능 항목에 대한 틀을 제공하고 원래 [[에르빈 슈뢰딩거|슈뢰딩거]]가 제안한 양자 역학의 [[치터베베궁]] 해석을 지원하도록 확장되었다.

헤스테네스는 자신의 <math>\psi</math>에 대한 표현을 경로 적분 공식에서 이에 대한 파인만의 표현과 비교했다:

: <math> \psi = e^{i \Phi_\lambda / \hbar} </math>

여기서 <math>\Phi_\lambda</math>는 <math>\lambda</math>-경로에 대한 고전적인 작용이다.<ref name="hestenes-1990-eq3-1-eq4-1"/>

시공간 대수는 행렬 이론 대신 [[실수]] 이론의 관점에서 [[디랙 방정식|디랙 입자]]를 설명할 수 있게 한다. 디랙 입자의 행렬 이론 설명은 다음과 같다.<ref name="doran-et-al-1996-eq-3-43-eq-3-44">See eqs. (3.43) and (3.44) in: {{서적 인용|제목=Spacetime algebra and electron physics|성=Doran|이름=Chris|성2=Lasenby|이름2=Anthony|연도=1996|편집자-성=Hawkes|편집자-이름=Peter W.|총서=Advances in Imaging and Electron Physics|권=95|출판사=Academic Press|쪽=272–386, [https://books.google.com/books?id=Ry0nQRxOz1EC&pg=PA292 292]|isbn=0-12-014737-8|성3=Gull|이름3=Stephen|성4=Somaroo|이름4=Shyamal|성5=Challinor|이름5=Anthony}}</ref>

: <math>\hat \gamma^\mu (\mathbf{j} \partial_\mu - e \mathbf{A}_\mu) |\psi\rangle = m |\psi\rangle </math>

여기서 <math>\hat\gamma</math>는 디랙 행렬이다. 시공간 대수에서 디랙 입자는 다음 방정식으로 설명된다.<ref name="doran-et-al-1996-eq-3-43-eq-3-44"/>

: <math>\nabla \psi \, i \sigma_3 - \mathbf{A} \psi = m \psi \gamma_0</math>

여기서, <math>\psi</math>와 <math>\sigma_3</math>는 기하 대수의 원소이며, <math>\nabla = \gamma^\mu \partial_\mu</math>는 시공간 벡터 도함수이다.

=== 일반 상대성 이론의 새로운 공식화 ===
케임브리지 대학의 라센바이, 도란 및 굴은 게이지 이론 중력 (GTG)이라고 하는 중력의 새로운 공식을 제안했다. 여기서 시공간 대수는 [[민코프스키 공간]]에 곡률을 유도하는 동시에 "사건을 시공간으로 임의로 매끄럽게 다시 사상"하는 [[게이지 이론|게이지 대칭]]을 데 사용된다."

: <math> \frac{d}{d \tau} R = \frac{1}{2} (\Omega - \omega) R </math>

및 공변 도함수

: <math> D_\tau = \partial_\tau + \frac{1}{2} \omega ,</math>

여기서 <math>\omega</math>는 중력 퍼텐셜과 관련된 접속이며, <math>\Omega</math>는 전자기장과 같은 외부 상호 작용이다.

이 이론은 [[슈바르츠실트 계량|슈바르츠실트 해]]의 형태가 특이점에서 분해되지 않기 때문에 블랙홀 처리에 대한 몇 가지 가능성을 보여준다. [[일반 상대성이론]]의 결과는 대부분 수학적으로 재현되었으며, [[고전 전자기학]]의 상대론적 공식화는 [[양자역학]] 및 [[디랙 방정식]]으로 확장되었다.

== 같이 보기 ==
* [[기하적 대수학]]
* 디랙 대수학
* [[디랙 방정식]]
* [[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]

== 참조 ==
* {{인용|first1=A.|last1=Lasenby|first2=C.|last2=Doran|first3=S.|last3=Gull|year=1998|title=Gravity, gauge theories and geometric algebra|journal=Phil. Trans. R. Soc. Lond. A|volume=356|issue=1737|pages=487–582|doi=10.1098/rsta.1998.0178|arxiv=gr-qc/0405033|bibcode=1998RSPTA.356..487L|s2cid=119389813}}
* {{인용|first1=Chris|last1=Doran|first2=Anthony|last2=Lasenby|year=2003|title=Geometric Algebra for Physicists|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-48022-2}}
* {{인용|first=David|last=Hestenes|year=2015|title=Space–Time Algebra|publisher=Birkhäuser|isbn=9783319184135|edition=2nd|orig-year=1966|url=https://books.google.com/books?id=63i6CAAAQBAJ}}
* {{인용|first1=David|last1=Hestenes|last2=Sobczyk|year=1984|title=Clifford Algebra to Geometric Calculus|publisher=Springer Verlag|isbn=978-90-277-1673-6}}
* {{인용|first=David|last=Hestenes|year=1973|title=Local observables in the Dirac theory|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=14|issue=7|pages=893–905|doi=10.1063/1.1666413|citeseerx=10.1.1.412.7214|bibcode=1973JMP....14..893H}}
* {{인용|first=David|last=Hestenes|year=1967|title=Real Spinor Fields|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=8|issue=4|pages=798–808|bibcode=1967JMP.....8..798H|doi=10.1063/1.1705279}}
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/imag_numbs.html 허수는 실제가 아니다 – S. 굴, A. Lasenby, C. 도란의 기하학적 대수 개념에 대한 자습서 소개인 시공간] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20230402052532/http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/imag_numbs.html}} 의 기하학적 대수학
* [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptIIIcourse/ 기하 대수 코스 노트의 물리적 응용], 특히 파트 2를 참조하십시오.
* [https://web.archive.org/web/20011129095049/http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ 케임브리지 대학 기하 대수학 그룹]
* [http://modelingnts.la.asu.edu/ 기하미적분학 연구개발]

[[분류:수리물리학]]
[[분류:클리퍼드 대수]]
[[분류:민코프스키 시공간]]