스핀 접속 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]과 [[일반 상대성 이론]]에서 '''스핀 접속'''(spin接續, {{llang|en|spin connection}})은 [[스피너 다발]] 위에 존재하는 [[코쥘 접속]]이다. [[아핀 접속]]으로부터 정의할 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math>의 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
* <math>M</math> 위의 (국소) [[필바인]] <math>e^\mu_1,\dotsc,e^\mu_n \in\Gamma(\mathrm TM)</math>
<math>a,b,c,\dots</math>가 [[필바인]] 지수, <math>\mu,\nu,\rho,\dots</math>가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\nabla_\mu e^\nu_b = \omega_\mu{}^a{}_b e^\nu_a</math>
즉,
:<math>\omega_\mu{}^a{}_b
=
e_\nu^a\nabla_\mu e^\nu_b
=
e_\nu^a\left(\partial_\mu e^\nu_b
+\Gamma^\nu_{\mu\rho}e^\rho_b\right)
= e^{\nu a}\nabla_\mu e_{\nu b}
= e^{\nu a}(\partial_\mu e_{\nu b} - \Gamma_{\mu\nu}^\rho e_{\rho b})
</math>
여기서 <math>\Gamma^\rho_{\mu\nu}</math>는 (<math>e</math>로 정의된 [[리만 계량]]에 대한) [[크리스토펠 기호]], <math>e_\mu^a</math>는 [[필바인]]이다.

이는 [[1차 미분 형식]]들로 이루어진 <math>n\times n</math> 반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,
:<math>\eta_{ac}\omega_\mu{}^c{}_b=-\eta_{bc}\omega_{\mu}{}^c{}_a</math>
이다. 여기서 <math>\eta</math>는 필바인 위의 [[이차 형식]](계량)이다.

=== 스피너 다발의 접속 ===
스핀 접속은 이름과 같이 [[스피너 다발]]의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
* 부호수 <math>(m,n)</math>의 [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>. 그 [[틀다발]]이 <math>P\twoheadrightarrow M</math>이라고 하자. 즉, <math>\mathrm TM = P\times_{\operatorname{SO}(m,n)}\mathbb R^{m+n}</math>이다.
* [[스핀 구조]], 즉 <math>P</math>의 <math>\operatorname{Spin}(m,n)</math>으로의 올림 <math>\tilde P\twoheadrightarrow P\twoheadrightarrow M</math>.
그렇다면, (디랙) [[스피너 다발]]
:<math>S\twoheadrightarrow M</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>2^{\lfloor(m+n)/2\rfloor}</math>차원 복소수 [[벡터 다발]]이다.

그렇다면, <math>S</math> 위에는 다음과 같은 [[코쥘 접속]]이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.
:<math>\nabla_\mu\psi = \left(\partial_\mu - \frac14\mathrm i\omega^{ab}_\mu\sigma_{ab}\right)\psi</math>
여기서
:<math>\sigma \in \Gamma(\operatorname{End}(S)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{so}(m,n)^*)</math>
는 <math>S</math> 위의 <math>\mathfrak{so}(m,n)</math> [[리 대수의 표현|표현]]이다.

이것은 [[리만 기하학]]에 사용된다.

== 성질 ==
만약 [[비틀림]]이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.
:<math>(\mathrm de^a)_{\mu\nu}+(\omega^a{}_b\wedge e^b)_{\mu\nu}=0</math>
여기서 <math>d</math>는 [[1차 미분 형식]]의 [[외미분]], <math>\wedge</math>는 두 [[1차 미분 형식]]의 [[쐐기곱]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[아쉬테카르 변수]]
* [[디랙 연산자]]
* [[레비치비타 접속]]
* [[초중력]]
* [[비틀림 텐서]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=spin connection|title=Spin connection}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/229242/transferring-connection-information-to-associated-bundles-and-back|웹사이트=Math Overflow | 제목=Transferring connection information to associated bundles and back | 언어=en}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:접속 (수학)]]
[[분류:스피너]]