스핀 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분위상수학]]에서 '''스핀 다양체'''(spin多樣體, {{llang|en|spin manifold}})는 [[스피너]]장을 정의할 수 있는 [[다양체]]다.<ref>{{서적 인용 | last=Lawson | first=H. Blaine | 공저자= Marie-Louise Michelsohn | title=Spin Geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08542-5 | year=1989 | 언어 = en | url = http://press.princeton.edu/titles/4573.html | series = Princeton Mathematical Series | volume = 38}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Friedrich|first=Thomas| title = Dirac Operators in Riemannian Geometry| publisher=American Mathematical Society | year=2000|isbn=978-0-8218-2055-1|언어=en|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-25|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=25}}</ref> 즉, [[직교 틀다발]] <math>P_{\operatorname{SO}}M\to M</math>을 이중 [[피복 공간]] <math>\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)</math>에 대하여 적절히 [[주다발]] <math>P_\mathrm{Spin}M\to M</math>으로 확장할 수 있는 [[가향 다양체|가향]] ([[준 리만 다양체|준]]) [[리만 다양체]]다.

== 정의 ==
임의의 두 자연수 <math>(p,q)</math>에 대하여, [[스핀 군]]에서 [[특수 직교군]]으로 가는 표준적인 2겹 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]
:<math>\rho\colon\operatorname{Spin}(p,q)\to\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)</math>
이 존재한다.

[[파라콤팩트 공간]] <math>M</math> 위의 <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>-[[주다발]] <math>\pi_{\operatorname{SO}}\colon P\twoheadrightarrow M</math> 위의 '''스핀 구조'''(spin構造, {{llang|en|spin structure}})란 다음 데이터로 구성된다.
* [[스핀 군|Spin(''p,q'')]]-[[주다발]] <math>\pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M</math>
* 이중 [[피복 공간]] <math>p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\twoheadrightarrow P_{\operatorname{SO}}(M)</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}</math>
* 임의의 <math>x\in P_{\operatorname{Spin}}</math>, <math>h\in\operatorname{Spin}(n)</math>에 대하여 <math>p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)</math>이다. (여기서 <math>\cdot</math>은 [[주다발]] 위의 [[군의 작용]]이다.) 즉, [[군의 작용]]은 <math>p</math>와 가환한다.

[[파라콤팩트 공간]] <math>M</math> 위의 유향(有向) [[벡터 다발]] <math>E</math> 위의 '''스핀 구조'''는 <math>E</math>의 [[직교 틀다발]] <math>P_{\operatorname{SO}}(E)</math> 위의 스핀 구조이다.

[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 '''스핀 구조'''는 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>(의 [[틀다발]]) 위의 스핀 구조이다. '''스핀 다양체'''는 스핀 구조를 지닌 [[가향 다양체|가향]] [[준 리만 다양체]]다.

=== 스피너 다발 ===
<math>\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하고, [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(p,q)</math>의 <math>\mathbb K</math>-선형 [[군의 표현|표현]]
:<math>\kappa\colon\operatorname{Spin}(p,q)\to\operatorname{GL}(\Delta;\mathbb K)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[올다발|올]]이 <math>\Delta</math>인 복소수 [[연관 벡터 다발]]
:<math>S=P_{\operatorname{Spin}}\times_\kappa\Delta</math>
을 정의할 수 있다.

특히, <math>\operatorname{Spin}(p,q)</math>는 항상 <math>2^{\lfloor(p+q)/2\rfloor}</math>차원 복소수 표현([[디랙 스피너]])을 갖는다. 이에 대응되는 [[복소수 벡터 다발]]을 '''디랙 스피너 다발''' <math>\mathrm SM</math>이라고 한다. 만약 <math>p+q</math>가 짝수라면, [[디랙 스피너]]는 왼쪽·오른쪽 [[바일 스피너]]의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 '''바일 스피너 다발'''의 직합으로 분해된다.
:<math>\mathrm SM = \mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M</math>

만약 <math>(p-q)\bmod 8 \in \{0,\pm1,\pm2\}</math>라면, 마찬가지로 '''마요라나 스피너 다발''' <math>\mathrm S_{\mathbb R}M</math>을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,
:<math>\mathrm SM = \mathrm S_{\mathbb R}M \otimes\mathbb C</math>
이다. 만약 <math>p-q</math>가 8의 배수라면, '''마요라나-바일 스피너 다발''' <math>\mathrm S^\pm_{\mathbb R}M</math>이 존재하며,
:<math>\mathrm S^\pm_{\mathbb R}M\otimes\mathbb C = \mathrm S^\pm M</math>
:<math>\mathrm S^+_{\mathbb R}M\oplus\mathrm S^-_{\mathbb R}M = \mathrm S_{\mathbb R}M</math>
이다.

스핀 다양체 위의 '''스피너장'''(spinor場, {{llang|en|spinor field}})은 스피너 다발의 [[매끄러운 단면]]이다.

== 성질 ==
[[가향 다양체]] <math>M</math> 위에 스핀 구조가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 2차 [[슈티펠-휘트니 특성류]]
:<math>\mathrm w_2(M)\in\mathrm H^2(M,\mathbb Z/2)</math>
가 0인지 여부이다.<ref name="BGV">{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>{{rp|115, Proposition 3.34}}

== 분류 ==
만약 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 [[코호몰로지류]] <math>\operatorname H^1(M,\mathbb Z/2)</math>의 집합과 [[일대일 대응]]한다.<ref name="BGV"/>{{rp|115, Proposition 3.34}} 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 <math>\operatorname H^1(M,\mathbb Z/2)</math>에 대한 [[아핀 공간]]이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 [[스피너]]를 [[평행 운송]]하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 [[양자장론]]에서 [[페르미온]]의 라몽 경계 조건({{llang|en|Ramond boundary condition}}, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건({{llang|en|Neveu–Schwartz boundary condition}}, −)의 선택에 대응한다.

== 예 ==
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.
* 종수 ''g''의 콤팩트 [[리만 곡면]]은 2<sup>2''g''</sup>개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 '''[[세타 지표]]'''({{llang|en|theta characteristic}})라고 불린다.
* 모든 3차원 이하 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]는 스핀 구조를 갖는다.
* [[초구]] ''S<sup>n</sup>''는 모두 스핀 구조를 갖는다. <math>n \ne 1</math>일 때 이는 유일하며, 원 <math>\mathbb S^1</math>은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
* 홀수 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{2k+1}</math>은 스핀 구조를 갖는다.
* 모든 [[칼라비-야우 다양체]]는 스핀 구조를 갖는다.
다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.
* 짝수 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{2k}</math>은 스핀 구조를 갖지 않는다.

=== 낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조 ===
0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 [[복소수 선다발]]에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 <Math>L</math>의 스핀 구조는 복소수 선다발의 ([[텐서곱]]에 대한) 제곱근, 즉
:<math>\sqrt L \otimes \sqrt L \cong L</math>
이 되는 복소수 선다발 <math>L</math>에 해당한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Johannes Felix|성=Ebert|날짜=2006-07|제목=Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory|출판사=[[본 대학교|Universität Bohn]]|기타=박사 학위 논문|url=http://wwwmath.uni-muenster.de/wwwmath.uni-muenster.de/u/jeber_02/papers/thesis.pdf|언어=en|access-date=2013-01-18|archive-date=2015-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150326121910/http://wwwmath.uni-muenster.de/wwwmath.uni-muenster.de/u/jeber_02/papers/thesis.pdf|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[스핀 접속]]
* [[스피너]]
* [[스핀C 다양체]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Spinor structure|이름= D.V.|성=Alekseevskii}}
* {{nlab|id=spin structure|title=Spin structure}}
* {{nlab|id=twisted spin structure|title=Twisted spin structure}}
* {{nlab|id=differential spin structure|title=Differential spin structure}}

[[분류:K이론]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:리만 다양체]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:수리물리학]]