스핀C 군 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''스핀C 군'''(spin C群, {{llang|en|spin<sup>c</sup> group}})은 [[스핀 군]]과 [[원군]]의 뒤틀린 곱인 [[리 군]]이다. [[미분기하학]]에서 [[스핀C 다양체]]를 정의할 때 쓰인다.

== 정의 ==
자연수 <math>n</math>이 주어졌다고 하자. <math>n</math>차 '''스핀C 군''' <math>\operatorname{Spin^c}(n)</math>은 다음 [[짧은 완전열]]로 정의된다.
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa\times\iota}{\hookrightarrow}\operatorname{Spin}(n)\times\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\to1</math>.
여기서 <math>\kappa\times\iota</math>는 다음 두 [[군 준동형]]의 [[대각 사상]]이다.
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa}\hookrightarrow\operatorname{Spin}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\to1</math>
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\iota}\hookrightarrow\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{U}(1)\to1</math>

== 성질 ==
스핀C 군은 다음과 같은 [[짧은 완전열]]을 만족시킨다.
:<math>1\to\mathbb Z_2\hookrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{U}(1)\to1</math>.

즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
&& \!\!\!\!\!\! \operatorname{Spin}(n) \times \operatorname U(1)\!\!\!\!\!\! \\
&\swarrow & \downarrow & \searrow \\
\operatorname{SO}(n)\times\operatorname U(1) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&& \operatorname{Spin^c}(n) && \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname{Spin}(n)\times\operatorname U(1) \\
& \searrow & \downarrow & \swarrow \\
&& \operatorname{SO}(n)\times\operatorname U(1)
\end{matrix}</math>
여기서 각 군 준동형의 핵은 <math>\mathbb Z/2</math>이다.

=== 위상수학적 성질 ===
<math>n</math>차 스핀C 군 <math>\operatorname{Spin^c}(n)</math>은 <math>n(n-1)/2+1</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이다. <math>n\ge3</math>, <math>n\ne 4</math>일 때, 낮은 차수의 [[호모토피 군]]은
:<math>\pi_1(\operatorname{Spin^c}(n)) \cong 0</math>
:<math>\pi_1(\operatorname{Spin^c}(n)) \cong \mathbb Z</math>
:<math>\pi_2(\operatorname{Spin^c}(n)) \cong 0</math>
:<math>\pi_3(\operatorname{Spin^c}(n)) \cong \mathbb Z</math>
이다. (<math>n=4</math>일 때는 <math>\pi_3(\operatorname{Spin^c}(4)) \cong \mathbb Z^2</math>이다.)

=== 리 대수 ===
스핀C 군에 대응되는 리 대수는 단순히
:<math>\mathfrak{lie}(\operatorname{Spin^c}(n)) = \mathfrak o(n) \oplus \mathfrak u(1)</math>
이다.

=== 표현 ===
<math>n</math>차원 [[스핀 군]]의 [[디랙 스피너]] 표현 <math>V</math>를 생각하자. 이는 복소수 <math>2^{\lfloor n/2\rfloor}</math>차원 [[유니터리 표현]]이다. 즉, 이는 단사 군 준동형
:<math>\operatorname{Spin}(n) \hookrightarrow \operatorname U(V)</math>
을 정의한다. 그런데 또한 [[군의 중심]]
:<math>\operatorname U(1) \cong \operatorname Z(\operatorname U(V)) \hookrightarrow \operatorname U(V)</math>
을 생각할 수 있으며, 이는 부분군
:<math>\operatorname{Spin^c}(n) \hookrightarrow \operatorname U(V)</math>
를 정의한다. (직관적으로, 스피너는 360도 회전하면 &minus;1이 곱해지게 된다.)

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=spin^c}}

[[분류:리 군]]