스펙트럼 (위상수학) 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''스펙트럼'''({{llang|en|spectrum}})은 [[일반화 코호몰로지 이론]]을 나타내는 위상수학적 구조이다. 서로 특정 [[연속 함수]]들로 연결된 [[점을 가진 공간]]들의 열로서 [[표현 가능 함자|표현]]될 수 있다.

== 정의 ==
'''스펙트럼 범주'''({{llang|en|category of spectra}})는 다음 조건들을 만족시키는 [[모형 범주]] <math>\mathcal S</math>이다.
* 함자 <math>\Sigma^\infty\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\mathcal S</math>를 자연스럽게 갖추며, 이는 호모토피 범주의 함자 <math>\operatorname{hTop}_\bullet\to\operatorname{ho}(\mathcal S)</math>를 유도한다. 또한 이는 [[오른쪽 수반 함자]] <math>\Omega^\infty\colon\operatorname{ho}(\mathcal S)\to\operatorname{hTop}_\bullet</math>를 가진다.
* [[현수 (위상수학)|현수]] 함자 <math>\Sigma\colon\mathcal S\to\mathcal S</math>가 존재하며, 이는 [[자기 사상|자기]] [[범주의 동치|동치]]이다. 그 역을 <math>\Omega\colon\mathcal S\to\mathcal S</math>라고 하자.
* [[영 대상]] · 유한 [[쌍대곱]] · 유한 [[곱 (범주론)|곱]]을 가지며, [[가법 범주]]를 이룬다. (즉, 유한 쌍대곱과 곱이 일치한다.) 쌍대곱을 <math>\vee</math> ([[쐐기합]])이라고 쓰자.
* [[닫힌 모노이드 범주|닫힌]] [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 또한, 이 [[닫힌 모노이드 범주]] 구조는 [[모형 범주]] 구조와 호환된다.
** 텐서곱 연산을 <math>\wedge</math> ([[분쇄곱]])라고 쓴다.
**  지수 대상을 <math>[-,-]</math>로 쓴다.
**  모노이드 범주의 항등원은 <math>\mathbb S</math> ([[초구]] 스펙트럼)라고 쓴다.
** <math>[\mathbb S,X]=\pi(X)</math> ([[안정 호모토피 군]])으로 쓴다.
* <math>\Sigma</math>에 대한 [[삼각 분할 범주]]를 이룬다.

이 조건들을 모두 만족시키는 [[모형 범주]]는 모두 서로 동형인 [[호모토피 범주]]를 유도한다. 따라서, 정확히 어떤 스펙트럼 범주를 사용하는지는 이론적으로 크게 중요하지 않다.

== 구성 ==
스펙트럼 범주는 여러 방법으로 구성할 수 있다. 흔히 사용되는 구성들은 다음이 있다.
* '''S-가군'''({{llang|en|S-module}})의 범주.<ref>{{서적 인용|이름=Anthony|성=Elmendorf|이름2=Igor|성2=Kriz|이름3=Michael |성3=Mandell|이름4=J. Peter|성4=May|제목=Rings, modules and algebras in stable homotopy theory|출판사=American Mathematical Society|날짜=1997|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/EKMM.pdf|isbn=978-0-8218-4303-1|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=47|doi=10.1090/surv/047 |언어=en}}</ref> 이는 [[오퍼라드]] 이론을 사용하며 대수적이다.
* '''직교 스펙트럼'''({{llang|en|orthogonal spectrum}})의 범주.<ref>{{저널 인용|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0319/|제목=Diagram spaces, diagram spectra, and FSP’s|이름=M. A.|성=Mandell|이름2=J. Peter|성2=May|이름3=S. |성3=Schwede|이름4=B.|성4=Shipley|날짜=1998|언어=en}}</ref> 더 위상수학적이며, [[직교군]]의 연속적 [[군의 작용|작용]]을 갖춘 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들로 구성된다. 위상 공간 대신 [[단체 집합]]을 사용하기 힘들다.
* '''대칭 스펙트럼'''({{llang|en|symmetric spectrum}})의 범주.<ref>{{저널 인용|제목=Symmetric spectra|이름=Mark|성=Hovey|이름2=Brooke|성2=Shipley|이름3=Jeff|성3=Smith|저널=Journal of the American Mathematical Society|권=13|날짜=2000|쪽=149–208|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0265/|arxiv=math/9801077|bibcode=1998math......1077H|언어=en}}</ref> [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 작용을 갖춘 위상 공간 또는 [[단체 집합]]들로 구성된다.

이들 사이에는 다음과 같은 [[퀼런 동치]]가 존재한다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0318/|제목=Orthogonal spectra and ''S''-modules|이름=M. A.|성=Mandell|이름2=J. P.|성2=May|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0408/|제목=Equivariant orthogonal spectra and ''S''-modules|이름=M. A.|성=Mandell|이름2=J. P.|성2=May|zbl=1025.55002|언어=en}}</ref> (퀼런 동치의 존재는 [[추이적 관계]]이지만 [[대칭 관계]]가 아님에 주의하자.)
:준스펙트럼 ⇆ 대칭 스펙트럼 ⇆ 직교 스펙트럼 ⇆ S-가군
여기서 <math>\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D</math>는 <math>\mathcal C\to\mathcal D</math> 방향의 함자 (왼쪽 퀼런 함자)가 [[쌍대올뭉치]]를 보존하고 <math>\mathcal D\to\mathcal C</math> 방향의 함자(오른쪽 퀼런 함자)가 [[올뭉치]]를 보존한다는 뜻이다.

=== 준스펙트럼 ===
'''준스펙트럼'''(準spectrum, {{llang|en|prespectrum}})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[점을 가진 공간]]의 열 <math>(X_i,x_i)_{i\in\mathbb N})</math>
* 점을 보존하는 [[연속 함수]] <math>(s_i\colon \Sigma X_i\to X_{i+1})_{n\in\mathbb N}</math>. 여기서 <math>\Sigma</math>는 [[축소 현수]]이다.
두 준스펙트럼이 유한 개의 성분을 제외하고 서로 동일하다면, 서로 '''동치'''({{llang|en|equivalent}})라고 한다.

[[점을 가진 공간]] <math>X</math>에 대하여, 함자 <math>\Sigma^\infty</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\Sigma^\infty X=(X,\Sigma X,\Sigma\Sigma X,\dots)</math>
여기서 함수 <math>s_i</math>는 모두 [[항등 함수]]이다.

두 준스펙트럼 <math>X_\bullet</math>, <math>Y_\bullet</math> 사이의 '''사상''' <math>f\colon X_\bullet\to Y_\bullet</math>은 다음 그림을 가환하게 만드는 [[연속 함수]] <math>f_i\colon X_i\to Y_i</math>들의 [[수열|열]]이다.
:<math>
\begin{matrix}
\Sigma X_i&\to&X_{i+1}\\
{\scriptstyle\Sigma f_i}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f_{i+1}\\
\Sigma Y_i&\to&Y_{i+1}\\
\end{matrix}</math>

준스펙트럼의 [[분쇄곱]]과 [[쐐기합]]을 성분별로 정의할 수 있다. 준스펙트럼의 분쇄곱은 일반적으로 [[결합 법칙]]을 따르지 않지만, 서로 다르게 괄호를 씌워 계산한 값은 항상 [[호모토피 동치]]이다. 준스펙트럼의 [[호모토피 범주]]는 [[닫힌 모노이드 범주]]를 이루며, 스펙트럼 범주의 호모토피 범주를 이룬다.

=== 대칭 스펙트럼 ===
'''대칭 스펙트럼'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 점을 가진 [[단체 집합]]들의 열 <math>(X_n)_{n\in\mathbb N}</math>
* [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 <math>X_n</math> 위의 [[군의 작용|작용]]
* 각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 점을 보존하는 사상 <math>\sigma_n\colon\mathbb S^1\wedge X_n\to X_{n+1}</math>. 이를 '''구조 사상'''이라고 한다. 이 경우 구조 사상으로부터 얻어지는 사상 <math>\mathbb S^m\wedge X_n\to X_{m+n}</math>은 항상 <math>\operatorname{Sym}(m)\times\operatorname{Sym}(n)</math>-[[등변 함수]]이어야 한다 (<math>m>0</math>, <math>n\ge0</math>).

대칭 스펙트럼 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 '''사상'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 사상 <math>f\colon X_n\to Y_n</math>
이는 다음과 같은 그림들을 가환하게 만들어야 한다.
:<math>
\begin{matrix}
X_n\wedge\mathbb S^1&\xrightarrow{f_n\wedge\mathbb S^1}&Y_n\wedge\mathbb S^1\\
\downarrow&&\downarrow\\
X_{n+1}&\xrightarrow[f_{n+1}]{}&Y_{n+1}
\end{matrix}
</math>

=== 직교 스펙트럼 ===
{{본문|직교 스펙트럼}}
대칭 스펙트럼의 개념과 유사하지만, [[대칭군 (군론)|대칭ᄀᆍᆫ]] 대신 [[직교군]]을 사용한 개념을 '''[[직교 스펙트럼]]'''이라고 한다. (이 경우, 대칭군의 경우와 달리, [[단체 집합]] 대신 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 사용해야 한다.)

== 예 ==
=== 초구 스펙트럼 ===
가장 기본적인 예는 '''[[초구]] 스펙트럼'''
:<math>\mathbb S=\Sigma^\infty(\mathbb S^0)</math>
이다. (<math>\mathbb S^0</math>은 임의의 밑점을 가진 0차원 [[초구]]이다.) 이에 대하여 정의되는 코호몰로지는 [[안정 호모토피 군]]이다.

=== 특이 코호몰로지 ===
아벨 군 <math>G</math> 계수의 [[특이 코호몰로지]] <math>\operatorname H^\bullet(-;G)</math>는 [[브라운 표현 정리]]에 따라서 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^\bullet(X;G)\cong [X,K(G,n)]_\bullet</math>
여기서 <math>[,]_\bullet</math>은 적절한 [[점을 가진 공간]]의 범주에서의 점 보존 호모토피류 집합이며, <math>K(G,n)</math>은 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]이다.

에일렌베르크-매클레인 공간 사이에는 다음과 같은 [[호모토피 동치]]가 존재한다.
:<math>\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)</math>
따라서, 이들은 '''에일렌베르크-매클레인 스펙트럼''' <math>\mathrm HG</math>를 이룬다. 준스펙트럼의 구조 사상
:<math>\Sigma K(G,n-1) \to K(G,n)</math>
은 임의의 <math>X</math>에 대하여 사상
:<math>\operatorname H^{n-1}(X;G)=[X,\mathbb S^1\wedge K(G,n-1)] \to [X,K(G,n)] = \operatorname H^n(X;G)</math>
을 유도하는데, 이는 [[축소 현수]]의 코호몰로지 사상이다.

=== 위상 K이론 ===
{{본문|위상 K이론}}
[[위상 K이론]] 역시 스펙트럼으로 나타내어진다.

=== 위상 공간의 현수 스펙트럼 ===
[[점을 가진 공간|점을 가진]] [[CW 복합체]] <math>(X,\bullet_X)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>X_i = \mathbb S^n \wedge X</math>
를 정의하자 (<math>\wedge</math>는 [[분쇄곱]]). 즉,
:<math>X_0 = \mathbb S^0 \wedge X = X</math>
:<math>X_1 = \mathbb S^1 \wedge X = \Sigma X</math> ([[축소 현수]])
:<math>X_{i+1} = \Sigma X_i</math>
이다. 이 경우 [[축소 현수]]의 표준적 사상 <math>X_i \to \Sigma X_i = X_{i+1}</math>이 주어져, 이는 준스펙트럼을 이룬다. 이를 <math>X</math>의 '''현수 스펙트럼'''({{llang|en|suspension spectrum}})이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[현수 (위상수학)]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last1=Elmendorf | first1=A. D. | last2=Kříž | first2=I. | last3=Mandell | first3=M. A. | last4=May | first4=J. Peter | editor1-last=James | editor1-first=I. M. | title=Handbook of algebraic topology | 장url=http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/Newfirst.pdf | publisher=North-Holland | isbn=978-0-444-81779-2  | doi=10.1016/B978-044481779-2/50007-9 | mr=1361891 | 날짜=1995 | chapter=Modern foundations for stable homotopy theory | pages=213–253|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Spectrum of spaces}}
* {{nlab|id=spectrum|title=Spectrum}}
* {{nlab|id=stable homotopy category|title=Stable homotopy category}}
* {{nlab|id=connective spectrum|title=Connective spectrum}}
* {{nlab|id=coordinate-free spectrum|title=Coordinate-free spectrum}}
* {{nlab|id=G-spectrum}}
* {{nlab|id=stable (infinity,1)-category of spectra|title=Stable (infinity,1)-category of spectra}}
* {{nlab|id=highly structured spectrum|title=Highly structured spectrum}}
* {{nlab|id=smash product of spectra|title=Smash product of spectra}}
* {{nlab|id=symmetric smash product of spectra|title=Symmetric smash product of spectra}}
* {{nlab|id=model structure on spectra|title=Model structure on spectra}}
* {{nlab|id=S-module}}
** {{nlab|id=model structure on S-modules|title=Model structure on S-modules}}
* {{nlab|id=symmetric spectrum|title=Symmetric spectrum}}
** {{nlab|id=model structure on symmetric spectra|title=Model structure on symmetric spectra}}
* {{nlab|id=spectrum object|title=Spectrum object}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]