스튜어트 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''스튜어트 정리'''(-定理, {{llang|en|Stewart's theorem}})는 [[삼각형]]의 세 변과 [[체바 선분]]의 길이 사이에 성립하는 [[등식]]이다.

== 정의 ==
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 [[체바 선분]] <math>AX</math>의 길이를 <math>d</math>라고 하고, 이로 나눠진 변 <math>BC</math>의 두 부분 <math>BX</math>와 <math>CX</math>의 길이를 각각 <math>m</math>과 <math>n</math>이라고 하자. '''스튜어트 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|70, §2D, Theorem 2.20}}
:<math>b^2m+c^2n=a(d^2+mn)</math>
특히 <math>m=n</math>일 경우 체바 선분 <math>AX</math>는 [[중선]]이 되고, 스튜어트 정리는  [[아폴로니오스 정리|아폴로니우스 정리]]가 된다.

== 증명 ==
삼각형 <math>ABC</math>와 <math>AXC</math>에 [[코사인 법칙]]을 적용하면<ref name="Isaacs" />{{rp|70, §2D}}
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math>
:<math>d^2=b^2+n^2-2bn\cos C</math>
를 얻는다. 두 등식에서 <math>\cos C</math>를 소거하면
:<math>\begin{align}c^2n-ad^2
&=n(a^2+b^2)-a(b^2+n^2)\\
&=an(a-n)-b^2(a-n)\\
&=amn-b^2m
\end{align}</math>
를 얻으며, 이를 정리하면 된다 라고 한다

== 역사 ==
[[스코틀랜드]]의 수학자 [[매튜 스튜어트]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=StewartsTheorem|title=Stewart's theorem}}

[[분류:삼각형에 대한 정리]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]