스튜던트 t 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 이름 =스튜던트 t 분포
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = Student t pdf.svg
| cdf 그림 = Student t cdf.svg
| 매개변수 = <math>\nu > 0 </math> [[자유도]]([[실수]]값)
| 받침 = <math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
| pdf = <math>\frac{\Gamma \left(\frac{\nu+1}{2} \right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2} \right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\left(\frac{\nu+1}{2} \right)}\!</math>
| cdf = <math>\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)} \end{matrix}</math>, 여기에서 <math>\,_2 F_1</math>은 [[초기하함수]]
| 기대값 = <math>\nu>1</math>일 때 0, 나머지는 정의되지 않음
| 중앙값 = 0
| 최빈값 = 0
| 분산 = <math>\frac{\nu}{\nu-2}</math>(<math>\nu>2</math>), <math>\infty</math>(<math>1<\nu\le2</math>), 나머지는 정의되지 않음
| 왜도 = <math>\nu>3</math>일 때 0
| 첨도 =
| mgf = 정의되지 않음
| 특성함수 = <math>\frac{K_{\nu/2} \left(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t| \right)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0</math>, <math>K_{\nu}(x)</math>는 [[베셀 함수]]
}}
'''스튜던트 t 분포'''(Student t分布, {{llang|en|Student’s ''t''-distribution}})는 [[정규 분포]]의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

== 정의 ==
'''스튜던트 t 분포'''는 다음 [[확률변수]]의 분포로 정의된다.
:<math>\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}</math>

여기에서 <math>Z</math>는 [[표준정규분포]], <math>V</math>는 [[자유도]] <math>\nu</math>인 [[카이제곱 분포]]이다.

t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 [[표준정규분포]]에 가깝게 된다.<ref>{{서적 인용|저자=김석우|제목=기초통계학|출판사=학지사|날짜=2007|언어=ko}}</ref>{{rp|194}}

== 정규분포에서의 추정 ==
어떤 정규분포의 [[평균]]이 <math>\mu</math>이고 [[분산]]이 <math>\sigma^2</math>일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 <math>X_1, \cdots, X_n</math>라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.
:<math>\overline{X} = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math>
:<math>S^{\;2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2</math>
이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 [[불편추정값]]이다. 이때,
:<math>V = (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}</math>
은 자유도가 <math>n-1</math>인 [[카이제곱 분포]]가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한
:<math>Z = \left(\overline{X}-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{\sigma}</math>
는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, <math>V, Z</math>는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 <math>Z</math>에서 <math>\sigma^2</math> 대신 <math>S^{\;2}</math>로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.
:<math>T \equiv \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} = \left(\overline{X}-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{S}</math>
이때 <math>T</math>에는 <math>\sigma^2</math>가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 <math>\mu</math>를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 <math>T</math>의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

=== 구간 추정 ===
자유도 n-1인 t 분포 <math>T</math>에 대해,
:<math>\Pr(-A<T<A) = 0.9</math>
을 만족하는 실수 <math>A</math>는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,
:<math>\Pr(-A<T<A) = \Pr\left(-A < {\overline{X} - \mu \over S/\sqrt{n}} < A \right) =  \Pr\left(\overline{X}_n - A{S \over \sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + A{S \over \sqrt{n}}\right) = 0.9</math>
이므로, [[정규분포]]의 평균은 90%의 신뢰도로 <math>\overline{X}\pm A\frac{S}{\sqrt{n}} </math> [[신뢰구간]]에 속하게 된다.

== 역사 ==
프리드리히 로베르트 헬메르트({{llang|de|Friedrich Robert Helmert}})가 1875년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Helmert|이름=F. R.|날짜=1875|제목=Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler|저널=Zeitschrift für Mathematik und Physik|권=20|쪽=300–303|jfm=07.0113.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Helmert|이름=F. R.|날짜=1876|제목=Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen|저널=Zeitschrift für Mathematik und Physik|권=21|쪽=192–218|jfm=08.0113.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Helmert|이름=F. R.|날짜=1876|제목=Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit|저널=Astronomische Nachrichten|권=88|쪽=113–32|doi=10.1002/asna.18760880802|bibcode=1876AN.....88..113H|jfm=08.0114.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용| doi=10.1007/BF00374700 | last=Sheynin | first=O. | 날짜=1995 | title=Helmert’s work in the theory of errors | journal=Archive for History of Exact Sciences|issn= 0003-9519 | volume=49 | pages=73–104|언어=de}}</ref> 이듬해 [[야코프 뤼로트]]({{llang|de|Jacob Lüroth}})도 같은 분포를 재발견하였다.<ref>{{저널 인용| doi=10.1002/asna.18760871402 | last=Lüroth | first=J | year=1876 | title=Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers | journal=Astronomische Nachrichten | volume=87 | pages=209–20| issue=14|jfm= 07.0109.02 | bibcode=1876AN.....87..209L|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|first=J.|last=Pfanzagl| 공저자=O. Sheynin | title=A forerunner of the ''t''-distribution  (Studies in the history of probability and statistics XLIV) | 날짜=1996 | journal=Biometrika | volume=83 | issue=4 |pages=891–898 | doi=10.1093/biomet/83.4.891|mr=1766040|언어=en}}</ref> 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다.

1908년에 [[윌리엄 고셋]]이 "스튜던트"({{llang|en|Student}}, ‘학생’)라는 [[필명]]으로 1908년 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|저자=Student|저자링크=윌리엄 고셋|날짜=1908-03|title=The probable error of a mean |journal=Biometrika |volume=6 |issue=1 |pages=1–25 |url=http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf |doi=10.1093/biomet/6.1.1|언어=en}}</ref> 고셋은 [[기네스 (맥주)|기네스 양조 공장]]에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다.<ref>{{서적 인용|성=Mortimer|이름=Robert G.|날짜=2005|제목=Mathematics for Physical Chemistry|url=https://archive.org/details/mathematicsforph0000mort_t3l0|출판사=Academic Press|판=3판|isbn=0-12-508347-5}}</ref>{{rp|326}} 이후 저명한 통계학자인 [[로널드 피셔]]는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, ''t''라는 기호를 사용하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Fisher |first=R. A. |authorlink=로널드 피셔 |year=1925 |title=Applications of "Student's" distribution |journal=Metron |volume=5 |pages=90–104 |url=http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf |언어=en |확인날짜=2015년 10월 18일 |보존url=https://web.archive.org/web/20160305130235/http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf |보존날짜=2016년 3월 5일 |url-status=dead }}</ref> 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[카이제곱 분포]]
* [[F 분포]]
* [[정규분포]]
* [[t-test]]
* [[t 테이블]]
{{확률분포}}

[[분류:연속분포]]
[[분류:정규 분포]]