스튀름-리우빌 연산자 문서 원본 보기

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[[상미분 방정식]] 이론에서, '''스튀름-리우빌 연산자'''(Sturm-Liouville演算子, {{llang|en|Sturm–Liouville operator}})는 이산 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 갖는 특별한 형태의 2차 [[미분 연산자]]이다. 그 [[고유 함수]]에 대한 2차 [[상미분 방정식]]을 '''스튀름-리우빌 방정식'''(Sturm-Liouville方程式, {{llang|en|Sturm–Liouville equation}})이라고 하며, 이에 대한 이론을 '''스튀름-리우빌 이론'''(Sturm-Liouville理論, {{llang|en|Sturm–Liouville theory}})이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

== 정의 ==
실수의 [[닫힌구간]] <math>[a,b] \subsetneq \mathbb R</math>이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 [[연속 미분 가능 함수]]에 대한 '''스튀름-리우빌 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 2차 [[미분 연산자]]이다.
:<math>D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)</math>
:<math>D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)
= -\frac{p(x)}{w(x)}
\frac{d^2}{dx^2}
- \frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx}
- \frac{q(x)}{w(x)}
</math>
여기서
* <math>p \colon [a,b] \to \mathbb R^+</math>는 양의 실수 값의 [[연속 미분 가능 함수]]이다.
* <math>q \colon [a,b] \to \mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>w \colon [a,b] \to \mathbb R^+</math>는 양의 실수 값의 [[연속 함수]]이다. (이를 '''무게 함수''' {{llang|en|weight function}}라고 한다.)

[[닫힌구간]] <math>[a,b]</math> 위의 '''로뱅 경계 조건'''(Robin境界條件, {{llang|en|Robin boundary condition}})이란 <math>[a,b]</math> 위의 [[연속 미분 가능 함수]]에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.
:<math>\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math>
:<math>\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math>
여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.
* <math>\alpha_a</math> 또는 <math>\beta_a</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 <math>\alpha_b</math> 또는 <math>\beta_b</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니다.
즉, <math>[\alpha_a:\beta_a]</math>와 <math>[\alpha_b:\beta_b]</math>는 각각 실수 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}</math>의 두 점의 [[동차 좌표]]를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 [[힐베르트 공간]]
:<math>H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx)
= \left\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R)
\colon \int_a^b |f(x)|^2w(x)\,\mathrm dx < \infty
\right \}
</math>
위의 [[자기 수반 작용소]]로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 <math>D</math>의 [[고유 함수]] 방정식
:<math>Dy(x) = \lambda y(x)</math>
즉 선형 [[상미분 방정식]]
:<math> -\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)</math>
을 '''스튀름-리우빌 방정식'''({{llang|en|Sturm–Liouville equation}})이라고 한다.
이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, <math>p</math>와 <math>q</math>, <math>\lambda</math>의 값에 따라 해의 공간은 [[벡터 공간]]을 이룬다. '''스튀름-리우빌 문제'''는 스튀름-리우빌 [[미분 연산자]]의 [[고윳값]]을 구하는 문제이다.

== 성질 ==
=== 고윳값과 고유 함수 ===
<math>[a,b]</math> 위의 무게 함수
:<math>w \colon [a,b] \to \mathbb R^+</math>
에 대한 스튀름-리우빌 연산자
:<math>D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 [[가산 집합]]이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.
:<math>\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb </math>
:<math>\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty</math>
각 고윳값 <math>\lambda_i</math>에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 [[연속 미분 가능 함수]]로 구성된다. 또한, 이 함수는 [[열린구간]] <math>(a,b)</math> 속에서 정확히 <math>i</math>개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 <math>\{y_0,y_1,\dotsc\}</math>은 (<math>H</math>의 내적에 따라 정규화하였을 때) <math>H</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}</math>

=== 2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원 ===
모든 2차 선형 [[상미분 방정식]]은 좌변에 적당한 적분 인자({{lang|en|integrating factor}})를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 [[편미분 방정식]]이나, ''y''가 [[스칼라]]가 아니라 [[벡터]]인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.
: <math>P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0</math>

양변을 ''P''(''x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
: <math>\exp\left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,dx\right)</math>
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

== 예 ==
=== 베셀 방정식 ===
[[베셀 방정식]]
: <math>x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0</math>
은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.
: <math>(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0</math>
즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는
:<math>-\frac{d}{dx}\left(x \frac{d}{dx}\right) + \nu^2/x-\lambda^2 x</math>
이다.

=== 르장드르 방정식 ===
[[르장드르 다항식|르장드르 방정식]]
:<math>(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0</math>
은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1-x^2) = -2x</math>
이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.
:<math>[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0</math>
즉, <math>\nu(\nu+1)</math>은 스튀름-리우빌 연산자
:<math>\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d}{dx}\right)</math>
의 고윳값이다.

=== 더 복잡한 2차 상미분 방정식 ===
좀 더 복잡한 예로 다음 [[상미분 방정식]]을 생각하자.
: <math>x^3y''-xy'+2y=0</math>
양변을 ''x''<sup>3</sup>으로 나누고
:<math>y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0</math>
다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.
: <math>\exp\left(\int -\frac x{x^3}\,\mathrm dx\right)=\exp\left(\int -\frac1{x^2}\, \mathrm dx\right)=\exp(1/x)</math>

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.
: <math>\exp(1/x)y''-\frac1{x^2}\exp(1/x)y'+ \frac2{x^3}\exp(1/x)y = 0</math>
이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
: <math>\frac{d}{dx}\exp(1/x) = -\frac1{x^2}\exp(1/x)</math>
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.
: <math>(\exp(1/x)y')'+\frac2{x^3}\exp(1/x) y =0</math>
즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.
:<math>\frac{d}{dx}\left(\exp(1/x)\frac{d}{dx}\right) + \frac2{x^3}\exp(1/x)</math>

== 역사 ==
[[자크 샤를 프랑수아 스튀름]]과 [[조제프 리우빌]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[매개변수변환법]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| 성 = Zettl| 이름 = Anton| title = Sturm–Liouville theory| publisher=American Mathematical Society| 날짜 = 2005| isbn= 0-8218-3905-5|언어=en}}
* {{서적 인용| 성 = Teschl| 이름 = Gerald| title = Ordinary differential equations and dynamical systems| 출판사=American Mathematical Society|날짜 = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ | 언어=en}}
* {{서적 인용|장url=http://www.math.niu.edu/SL2/papers/birk0.pdf|날짜=2005|장=A catalogue of Sturm-Liouville differential equations|이름=W. N.|성=Everitt|제목=Sturm-Liouville Theory, Past and Present|출판사=Birkhäuser|쪽=271–331|editor1-first=A. M.|editor1-last=Hinz|editor2-first=D. B.|editor2-last=Pearson|doi=10.1007/3-7643-7359-8_12|언어=en|access-date=2019-03-16|archive-date=2007-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20070221162022/http://www.math.niu.edu/SL2/papers/birk0.pdf|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sturm-Liouville operator}}
* {{eom|title=Sturm-Liouville theory}}
* {{eom|title=Sturm-Liouville problem}}
* {{eom|title=Sturm-Liouville equation}}
* {{매스월드|id=Sturm-LiouvilleEquation|title=Sturm-Liouville equation}}
* {{nlab|id=Sturm-Liouville theory}}
* {{수학노트|title=스텀-리우빌 이론}}

{{전거 통제}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:스펙트럼 이론]]
[[분류:경계값 문제]]