스톤-체흐 콤팩트화 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''스톤-체흐 콤팩트화'''(Stone-Čech compact化, {{llang|en|Stone–Čech compactification}})는 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대하여 대응되는 표준적인 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이다. [[공역]]이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 [[연속 함수]]는 그 [[정의역]]의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

== 정의 ==
위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>와 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CompHaus}</math>가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자
:<math>U\colon\operatorname{CompHaus}\to\operatorname{Top}</math>
가 존재한다. 이 망각 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다.
:<math>\beta\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CompHaus}</math>
:<math>\beta\dashv U</math>
이 경우, <math>\beta</math>를 '''스톤-체흐 콤팩트화'''라고 한다. 이에 따라, <math>\operatorname{CompHaus}</math>는 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[반사 부분 범주]]를 이룬다.

=== 구성 ===
위상 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

<math>\mathcal C(X,[0,1])</math>이 연속 함수 <math>X\to[0,1]</math>들의 [[집합]]이라고 하자. 그렇다면 <math>[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>에 [[곱위상]]을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 [[연속 함수]]를 이룬다. (만약 <math>X</math>가 [[티호노프 공간]]이라면 이는 추가로 [[단사 함수]]이다.)
:<math>\phi\colon X\to[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>
:<math>\phi\colon x\mapsto(f(x))_{f\in\mathcal C(X,[0,1])}</math>
<math>[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, [[티호노프 정리]]에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,
:<math>\phi(X)\subseteq[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>
의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 ([[부분 공간 위상]]을 부여하면) <math>X</math>의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.
:<math>\beta X\cong\operatorname{cl}_{[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}}\phi(X)</math>

== 성질 ==
[[수반 함자]]의 단위원 <math>\eta\colon\operatorname{id}_{\operatorname{Top}}\Rightarrow U\circ\beta</math>로부터, 임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 표준적인 [[연속 함수]]
:<math>\eta_X\colon X\to\beta X</math>
가 존재한다. 이는 일반적으로 [[단사 함수]]가 아니다. 만약 <math>X</math>가 [[티호노프 공간]]이라면, 이는 [[단사 함수]]이며, 이는 <math>X</math>와 그 [[상 (수학)|상]] <math>\eta_X(X)</math> 사이의 [[위상동형]]을 정의하며, <math>\eta_X(X)</math>는 <math>\beta X</math>의 [[조밀 집합]]을 이룬다. 만약 <math>X</math>가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 <math>\beta X</math>는 <math>X</math>와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 [[선택 공리]]가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 [[집합론]]의 공리([[연속체 가설]] 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 [[이산 공간]]에 대응시키는 함자
:<math>D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
및 망각 함자
:<math>|\cdot|\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>
가 주어졌다면, <math>|\cdot|\circ U\circ\beta\circ D</math>는 집합의 범주 위의 [[모나드 (범주론)|모나드]]를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>에 대응하는 [[스톤 공간]]과 같다.

== 예 ==
([[순서 위상]]을 갖춘) 최소의 [[비가산]] [[순서수]] <math>\omega_1</math>의 스톤-체흐 콤팩트화는 <math>\omega_1+1</math>이다.

=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]] <math>X</math>의 스톤-체흐 콤팩트화 <math>\beta X</math>의 [[집합의 크기|크기]]·[[제2 가산 공간|무게]]·[[작은 귀납적 차원]]은 다음과 같다.
:<math>|\beta X|=2^{2^{|X|}}</math>
:<math>\operatorname{wt}(\beta X)=2^{|X|}</math>
:<math>\operatorname{ind}(\beta X)=0</math>
특히, <math>\beta X</math>는 [[완전 분리 공간]]이다.

[[자연수]]의 [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>의 스톤-체흐 콤팩트화 <math>\beta\mathbb N</math>은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.
* 임의의 [[무한 집합|무한]] [[닫힌집합]] <math>F\subset\beta\mathbb N</math>은 <math>\beta\mathbb N</math>과 [[위상 동형]]인 [[부분 집합]]을 갖는다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|175, Theorem 3.6.14}}
* 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, <math>\beta\mathbb N</math>의 [[점렬 공간|점렬 집합]]은 [[이산 공간|이산 집합]]밖에 없다.

== 역사 ==
[[마셜 하비 스톤]]<ref>{{저널 인용|first=M.H.|last= Stone|저자링크=마셜 하비 스톤|title=Applications of the theory of Boolean rings to general topology  |journal=Transactions of the American Mathematical Society  |날짜=1937|쪽= 375–481|doi=10.2307/1989788|권= 41|호=3 |jstor=1989788|언어=en}}</ref>과 [[에두아르트 체흐]]<ref>{{저널 인용|first=E.|last= Čech|저자링크=에두아르트 체흐|title=On bicompact spaces|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1937-10_38_4/page/823|날짜=1937  |쪽= 823–844|doi=10.2307/1968839|저널=The Annals of Mathematics|권=38|호=4|jstor=1968839|언어=en}}</ref> 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{저널 인용|first=Allen|last=Shields|title=Years ago|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_1987_9_2/page/61|journal=The Mathematical Intelligencer|volume= 9|issue=2  |날짜=1987  |pages= 61–63|doi=10.1007/BF03025901|issn=0343-6993|언어=en}}
*{{서적 인용|last=Hindman|first=Neil|last2=Strauss|first2=Dona|title=Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications|series=De Gruyter Expositions in Mathematics|volume=27|publisher=Walter de Gruyter & Co.|날짜=1998|isbn=978-3-11-025835-6|url=http://www.degruyter.com/view/product/129427|mr=1642231|언어=en|access-date=2015-07-01|archive-date=2015-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150924043200/http://www.degruyter.com/view/product/129427|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=The Stone–Čech compactification|이름=Russell C.|성=Walker|doi=10.1007/978-3-642-61935-9|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=83|issn=0071-1136|isbn=978-3-642-61937-3|날짜=1974|출판사=Springer|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stone-Čech compactification}}
* {{eom|title=Cech-Stone compactification of omega}}
* {{nlab|id=Stone-Cech compactification}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/03/18/245b-notes-13-compactification-and-metrisation-optional/|제목=245B, Notes 13: Compactification and metrisation (optional)|이름=Terence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2009-03-18|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[알렉산드로프 콤팩트화]]

[[분류:일반위상수학]]