스토크스의 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미분기하학]]에서 '''스토크스의 정리'''({{llang|en|Stokes’ theorem}})는 [[매끄러운 다양체]] 위의 [[미분 형식]]의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분 형식의 [[외미분]]을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 [[경계]]에 대하여 적분한 값과 같다. [[벡터 미적분학]]의 몇몇 정리를 일반화한 것이다.

== 도입 ==
[[미적분학의 기본정리]]는 [[구간]] <math>[a, b]</math>위의 함수 <math>f</math>의 적분은 <math>f</math>의 [[부정적분]]인 <math>F</math>를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.
:<math>\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math>
스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리를 일반화한다.
* <math>\scriptstyle \frac{dF}{dx}=f(x)</math>로 <math>F</math>가 결정되는 것에서, [[미분 형식]]의 관점에서 보면 <math>f(x) dx</math>는 0-형식(0-form)의 [[외미분]]([[:en:exterior derivative|exterior derivative]])이 된다. 즉, 함수 <math>F</math>에 대해 <math>dF = f dx</math>이다. 일반화된 스토크스 정리는 <math>F</math>대신 더 높은 미분 형식에서도 적용 가능하다.
* 폐구간 <math>[a, b]</math>는 경계를 갖는 일차원 [[매끄러운 다양체]](one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점 <math>a, b</math>로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수 <math>f</math>를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 [[미분 형식]]을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 [[방향 (다양체)|방향]]을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 [[미분 형식]]은 [[콤팩트 지지]]이여야 한다.
* 두 점 <math>a, b</math>는 구간 <math>[a, b]</math>의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 [[유향 다양체]] <math>M</math>에 적용된다. <math>M</math>의 경계인 <math>\partial M</math>은 그 자체로 다양체가 되고, <math>M</math>이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 [[유향 다양체]]를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 [[방향 (다양체)|방향]]은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 점 <math>a</math>는 점 <math>b</math> 방향으로 방향을 가진다고 볼 수 있다.
그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.
:<math>\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).</math>

== 정의 ==
[[파일:Green's-theorem-simple-region.svg|섬네일|위오른쪽|180 px|2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는 <math>\Omega</math> 대신 <math>D</math>로 표기됨)]]
<math>\Omega</math>가 경계를 가진 ''n''차원 [[유향 다양체|유향]] [[매끄러운 다양체]]라고 하고, <math>\omega</math>는 <math>\Omega</math> 위에 정의된 (n−1)차 [[미분 형식]]이라고 하자. 또한, <math>\omega</math>가 [[콤팩트 지지]]라고 하자. <math>\partial\Omega</math>를 <math>\Omega</math>의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 '''스토크스의 정리'''라고 한다.
:<math>\int_\Omega \mathrm {d}\omega = \oint_{\partial \Omega} \omega</math>
여기서 <math>\mathrm {d}</math>는 [[미분 형식]]의 [[외미분]]이다.

== 특수한 경우 ==
=== 켈빈-스토크스 정리 ===
스토크스 정리의 고전적인 형태로서 '''켈빈-스토크스 정리'''({{llang|en|Kelvin–Stokes theorem}})라고도 한다. [[3차원]] 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면 <math>R</math>에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.
:<math>\oint_{\partial R}{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \iint_{R}{\operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}}</math>

=== 그린 정리 ===
{{본문|그린 정리}}
[[그린 정리]]도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

=== 발산 정리 ===
{{본문|발산 정리}}
[[발산 정리]]도 [[유클리드 공간]]에서 [[부피 형식]](volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[그린 정리]]
* [[가우스의 발산정리]]
* [[그린의 항등식]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=스토크스 정리}}
* {{eom|title=Stokes theorem}}
* {{매스월드|id=StokesTheorem|title=Stokes' theorem}}
* {{nlab|id=Stokes theorem}}
* {{proofwiki|id=Kelvin-Stokes Theorem|제목=Kelvin-Stokes theorem}}
* {{proofwiki|id=General Stokes' Theorem|제목=General Stokes' theorem}}
* [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0471484822/theory/hh_focusontheory_sectionm.pdf Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem]
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcIII/stokestheorem.aspx Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu]

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:미분 형식]]
[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:미분기하학 정리]]