스테인하우스 정리 문서 원본 보기

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[[실해석학]]에서, '''스테인하우스 정리'''({{llang|en|Steinhaus’ theorem}})는 양의 [[르베그 측도]]를 갖는 [[실수]] 집합 속 두 점의 차가 0의 [[열린 근방]]을 포함한다는 정리이다.

== 정의 ==
(왼쪽 [[하르 측도]] <math>\mu</math>를 갖춘) [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. '''스테인하우스 정리'''에 따르면, 임의의 양의 측도의 [[가측 집합]]
:<math>A\subset G</math>
:<math>\mu(A)>0</math>
에 대하여,
:<math>AA^{-1}=\{ab^{-1}\colon a,b\in A\}</math>
는 항등원 <math>1_G\in G</math>의 [[근방]]이다.<ref name="Stromberg">{{저널 인용
|성=Stromberg
|이름=Karl
|제목=An Elementary Proof of Steinhaus's Theorem
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=36
|호=1
|쪽=308
|날짜=1972
|doi=10.2307/2039082
|jstor=2039082
}}</ref> 즉, <math>1_G\in U\subset AA^{-1}</math>인 [[열린집합]] <math>U\subset G</math>가 존재한다.
{{증명}}
편의상 <math>G=\mathbb R</math>가 ([[르베그 측도]] <math>\mu</math>를 갖춘) [[실수선]]이라고 하자. <math>A</math>가 양의 측도의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] 부분 집합을 가지므로, 편의상 <math>A</math>가 [[콤팩트 집합]]이라고 가정할 수 있다. 그렇다면
:<math>U\supset A</math>
:<math>\mu(U)<2\mu(A)</math>
인 [[열린집합]] <math>U\subset\mathbb R</math>가 존재한다. 또한, <math>A</math>가 [[콤팩트 집합]]이므로,
:<math>V+A\subset U</math>
인 0의 [[열린 근방]] <math>V\ni 0</math>이 존재한다. 이제,
:<math>V\subset A-A</math>
를 보이는 것으로 충분하다. 즉,
:<math>(v+A)\cap A\ne\varnothing\qquad\forall v\in V</math>
을 보이면 충분하다. 임의의 <math>v\in V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면
:<math>2\mu(A)>\mu(U)\ge\mu((v+A)\cup A)=\mu(v+A)+\mu(A)-\mu((v+A)\cap A)=2\mu(A)-\mu((v+A)\cap A)</math>
이므로
:<math>\mu((v+A)\cap A)>0</math>
이다. 따라서 위 조건이 성립한다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[후고 스테인하우스]]가 ([[르베그 측도]]를 갖춘) [[실수선]]의 경우를 증명하였다. 한스 아돌프 라데마허({{llang|de|Hans Adolph Rademacher}})가 ([[르베그 측도]]를 갖춘) [[유클리드 공간]]의 경우를 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]