스택 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]과 [[대수기하학]]에서 '''스택'''({{llang|en|stack}}, {{llang|fr|champ}})은 단면 집합이 단순한 [[집합]]이 아니라 [[준군]] 또는 [[범주 (수학)|범주]]를 이룰 수 있는, [[층 (수학)|층]]의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 [[오비폴드]]와 같이 [[군의 작용]]을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 [[모듈라이 공간]]을 이룰 수 있다.

== 정의 ==
[[위치 (수학)|위치]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal C</math> 위의 [[올범주]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''준스택'''(準stack, {{llang|en|prestack}}, {{llang|fr|préchamp|프레샹}})이라고 한다.
* 모든 [[내림 데이터]]가 충실충만하다.
만약 <math>\mathcal E\to\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''스택'''이라고 한다.
* 모든 [[내림 데이터]]가 효과적이다.

'''준군 준스택'''(準群準stack, {{llang|en|prestack fibered in groupoids}})은 [[준군 올범주]]인 준스택이다 (즉, 모든 올이 [[준군]]인 준스택이다). '''준군 스택'''(準群stack, {{llang|en|stack fibered in groupoids}})은 [[준군 올범주]]인 스택이다.

=== 스킴 위치 위의 스택 ===
[[대수기하학]]에서는 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[범주 (수학)|범주]] 위에 각종 [[그로텐디크 위상]]을 가하여 얻는 [[위치 (수학)|위치]] (특히 [[에탈 위치]]) 위의 스택을 다룬다.

[[에탈 위치]] <math>\operatorname{\acute Et}</math> 위의 스택의 사상 <math>X\to Y</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''표현 가능 사상'''(表現可能寫像, {{llang|en|representable morphism}})이라고 한다.
* 모든 스킴 <math>S</math>에 대하여, 올곱 <math>Y\times_XS</math>은 [[스킴 (수학)|스킴]]을 이룬다. 여기서 스택의 [[올곱]]은 [[2-범주]] 위의 [[당김 (범주론)|당김]]이다.

스킴 사상의 경우, 다양한 성질들이 정의돼 있다. 밑 전환에 대하여 불변이고, [[공역]]에 대하여 국소적인 스킴 사상의 조건 P에 대하여, [[에탈 위치]] <math>\operatorname{\acute Et}</math> 위의 스택의 표현 가능 사상 <math>X\to Y</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, 스택 사상 역시 조건 P를 만족시킨다고 한다.
:임의의 스킴 <math>S</math> 및 스택 사상 <math>S\to X</math>에 대하여, 스킴 사상 <math>Y\times_XS\to S</math>는 조건 P를 만족시킨다.

'''아틴 스택'''({{llang|en|Artin stack}})<ref name="Artin"/>은 [[에탈 위치]] 위의 준군 스택 <math>X</math> 가운데, 다음 두 조건을 만족하는 것이다.
* ([[대각 사상]]의 표현 가능성) <math>X</math> 위의 [[대각 사상]] <math>X\to X\times X</math>은 표현 가능 사상이다.
* 어떤 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>U</math>로부터 <math>X</math>로 가는 [[전사 함수|전사]] [[매끄러운 사상]] <math>U\to F</math>가 존재한다. (이를 '''좌표근방계'''({{llang|en|atlas}})라고 한다.)

'''들리뉴-멈퍼드 스택'''({{llang|en|Deligne–Mumford stack}})<ref name="DM"/>은 다음 조건을 만족시키는 아틴 스택 <math>X</math>이다.
* 어떤 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>U</math>로부터 <math>X</math>로 가는 [[전사 함수|전사]] [[에탈 사상]] <math>U\to F</math>가 존재한다. (이를 '''좌표근방계'''({{llang|en|atlas}})라고 한다.)

'''대수적 공간'''({{llang|en|algebraic space}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>\operatorname{\acute Et}</math> 위의 (집합 값의) [[층 (수학)|층]]이다.
* 어떤 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>U</math>로부터 <math>X</math>로 가는 [[전사 함수|전사]] [[에탈 사상]] <math>U\to F</math>가 존재한다.
즉, 대수적 공간은 모든 올이 (작은) 이산 범주를 이루는 들리뉴-멈퍼드 스택이다.

== 성질 ==
임의의 위치 위에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[올범주]] ⊇ 준스택 ⊇ 스택
스킴의 [[에탈 위치]] 위에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:스택 ⊋ 준군 스택 ⊋  아틴 스택 ⊋  들리뉴-멈퍼드 스택 ⊋ 대수적 공간 ⊋ [[스킴 (수학)|스킴]]

== 예 ==
=== 스킴 ===
스킴 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[에탈 위치]] 위의 [[조각 범주]] <math>\operatorname{\acute Et}/S</math>는 <math>\operatorname{\acute Et}</math> 위의 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다. 스킴을 스택으로 간주하는 경우, 사실 이 [[조각 범주]]를 뜻하는 것이다.

마찬가지로, 대수적 공간 <math>X</math>의 경우에도, 스킴 <math>S</math>에서 <math>X</math>로 가는 대수적 공간 사상 집합 <math>\hom(S,X)</math>을 올로 하는 [[올범주]]는 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다.

=== 모듈라이 스택 ===
주어진 종수 및 구멍 수의 [[안정 곡선]]의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M_{g,n}</math>은 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다.

== 역사 ==
스택의 개념의 시초는 [[알렉산더 그로텐디크]]의 [[내림 이론]]에 대한 1959년 논문<ref>{{저널 인용
  | last = Grothendieck
  | first = Alexander
  | authorlink = 알렉산더 그로텐디크
  | title = Technique de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats
  | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__299_0
  | journal = Séminaire Bourbaki
  | volume = 5 | 호=190
  | zbl = 0229.14007 | mr=1603475
  | 날짜 = 1959-12 | 언어=fr }}</ref>이다. 그로텐디크는 좋은 성질을 갖는 [[모듈라이 공간]]을 구성하려고 하였는데, 자명하지 않은 [[자기 동형]]의 존재가 이러한 모듈라이 공간의 존재를 불가능하게 한다는 사실을 깨달았다. 같은 해 11월 5일에 [[장피에르 세르]]에게 보낸 편지에서, 그로텐디크는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|내가 도달한 실질적인 결론에 따르면, 내 기준에 부합하는, 특정한 구조들([[비특이 대수다양체|비특이]] [[완비 대수다양체]], [[벡터 다발]] 등)의 [[모듈라이 공간|모듈라이]] [[대수다양체]](또는 더 정확히는 [[모듈라이 공간|모듈라이]] [[스킴 (수학)|스킴]])은 일반적으로 존재할 수 없다네. 심지어 [[평탄 사상|평탄성]] · [[고유 사상|고유성]] · (필요하다면) [[비특이 대수다양체|비특이성]]을 가하여도 말이네. 그 이유는 오직 [[내림 이론|내림]]을 방해하는, 구조의 [[자기 동형]]의 존재라네.<br>
{{lang|fr|La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c’est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l’existence d’automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher.}}|<ref>{{서적 인용|장=Lettre de Grothendieck à Serre, Paris, le 5ème de Novembre 1959|제목=Correspondance Grothendieck–Serre|출판사=Société Mathématique de France|날짜=2001|isbn=978-2-85629-104-7 |총서=Documents Mathématiques|권=2|issn=1629-4939|editor1-first=Pierre|editor1-last=Colmez|editor2-first=Jean-Pierre|editor2-last=Serre|editor2-link=장피에르 세르|쪽=94–94|언어=fr}}</ref>
}}
그러나 [[모듈라이 공간]]이 꼭 [[스킴 (수학)|스킴]]이어야 한다는 조건을 대신 스택으로 일반화한다면, [[자기 동형]]을 기억하는 모듈라이 스택을 구성할 수 있게 된다.

1963년~1964년 《마리 숲 대수기하학 세미나》(SGA)에서 [[피에르 들리뉴]]는 스택({{llang|fr|champ|샹}})이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이 강의록은 SGA 4권 18장<ref>{{서적 인용
 | editor1-first = M. | editor1-last = Artin | editor1-link = 마이클 아틴
 | editor2-first = A. | editor2-last = Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크
 | editor3-first = J.-L. | editor3-last = Verdier|editor3-link=장루이 베르디에
 | 이름=Pierre | 성=Deligne|저자링크=피에르 들리뉴
 | 제목=Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1963–64. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Tome 3 | 쪽=481–587
 | 장=Exposé XVIII. La formule de dualite globale
|series=Lecture Notes in Mathematics |volume=305 | issn=0075-8434
 | year = 1972
 | publisher = Springer
 |doi=10.1007/BFb0070714
 |isbn= 978-3-540-06118-2
 |언어=fr
}}</ref>으로 수록되어 1972년에 출판되었다. {{llang|fr|champ|샹}}이라는 단어는 들판이나 마당을 뜻한다.

1963년에 [[데이비드 멈퍼드]]는 (현대적 용어로) [[타원 곡선]]의 모듈라이 스택의 [[피카르 군]]을 연구하였다.<ref>{{서적 인용|mr=0201443|last=Mumford|first=David|저자링크=데이비드 멈퍼드|chapter=Picard groups of moduli problems|year=1965|title=Arithmetical algebraic geometry. Proceedings of a conference held at Purdue University, December 5–7, 1963|pages=33–81|publisher=Harper & Row|editor-first=O. F. G.|editor-last=Schilling|url=http://www.mathcs.emory.edu/~brussel/mumford.html|zbl=0187.42801|언어=en|access-date=2016-02-23|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304053603/http://www.mathcs.emory.edu/~brussel/mumford.html|url-status=}}</ref> 1965년에 장 지로({{llang|fr|Jean Giraud}})는 출판된 문헌에서 최초로 "스택"({{llang|fr|champ|샹}})이라는 용어를 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean|성=Giraud|제목=Cohomologie non abélienne|저널=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|권=260|쪽=2666–2668|날짜=1965|zbl=0135.02401|언어=fr}}</ref>

1969년에 [[피에르 들리뉴]]와 멈퍼드는 "스택"({{llang|en|stack|스택}})이라는 용어를 영어 문헌에 도입하였고, 들리뉴-멈퍼드 스택을 정의하였다.<ref name="DM">{{저널 인용 | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=피에르 들리뉴 | last2=Mumford | first2=David | author2-link=데이비드 멈퍼드 | title=The irreducibility of the space of curves of given genus | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__36__75_0 |mr=0262240 | year=1969 | journal=Publications Mathématiques de l’IHÉS | issn=1618-1913 | issue=36 | pages=75–109 | zbl=0181.48803 | doi=10.1007/BF02684599|언어=en}}</ref> (들리뉴와 멈퍼드는 들리뉴-멈퍼드 스택을 "대수적 스택"{{llang|en|algebraic stack}}이라고 불렀으나, 오늘날 이는 보통 아틴 스택을 일컫는다.) 들리뉴와 멈퍼드는 {{llang|fr|champ|샹}}을 {{llang|en|[[:wiktionary:ko:stack|stack]]|스택}}으로 번역하였는데, 후자는 쌓임·더미를 뜻하는 단어로, 원어 프랑스어 단어와 뜻이 다르다. 댄 에디딘({{llang|en|Dan Edidin}})에 따르면, {{llang|fr|champ|샹}}과 가장 가까운 단어 {{llang|en|[[:wiktionary:ko:field|field]]|필드}}는 이미 수학에서 [[체 (수학)|체]]({{llang|en|field|필드}}, {{llang|fr|corps|코르}})라는 뜻으로 쓰이며, {{llang|fr|champ|샹}}과 관련된 단어 {{llang|fr|[[:wiktionary:ko:gerbe|gerbe]]|제르브}}(일상 용어로는 짚단, 수학 용어로는 [[제르브]])는 {{llang|en|[[:wiktionary:ko:sheaf|sheaf]]|시프}}(짚단)나 {{llang|en|[[:wiktionary:ko:stack|stack]]|스택}}으로 번역될 수 있는데 전자는 이미 수학에서 [[층 (수학)|층]]({{llang|en|sheaf|시프}}, {{llang|fr|faisceau|페소}})이라는 뜻으로 쓰이므로 하는 수 없이 {{llang|en|stack|스택}}으로 번역되었다고 적었다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200304/what-is.pdf |title=What is … a stack?|last=Edidin|first=Dan|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=50|issue=4|pages=458–459|날짜=2003-04|언어=en}}</ref>

1974년에 [[마이클 아틴]]은 아틴 스택을 도입하였다.<ref name="Artin">{{저널 인용 | last1=Artin | first1=Michael | authorlink=마이클 아틴 | title=Versal deformations and algebraic stacks | doi=10.1007/BF01390174 | mr=0399094  | zbl=0317.14001 | year=1974 | journal=Inventiones Mathematicae | issn=0020-9910 | volume=27 | pages=165–189 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용|mr=1905329|last=Fantechi|first=Barbara|chapter=Stacks for everybody|title=European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000. Volume 1|pages=349–359 |series=Progress in Mathematics|권=201 |publisher=Birkhäuser|날짜=2001|chapter-url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~rehmann/ECM/cdrom/3ecm/pdfs/pant3/fantechi.pdf|isbn=978-3-0348-9497-5 |doi=10.1007/978-3-0348-8268-2_20|zbl=1021.14003|언어=en}}
*{{저널 인용 | last1=Gómez | first1=Tomás L. | title=Algebraic stacks | arxiv=math/9911199 | doi=10.1007/BF02829538 | mr=1818418 | year=2001 | journal=Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences   | volume=111 | issue=1 | pages=1–31 | zbl=0982.14005 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Laumon | first1=Gérard | last2=Moret-Bailly | first2=Laurent | title=Champs algébriques | publisher=Springer | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge | isbn=978-3-540-65761-3 | mr=1771927 | year=2000 | volume=39| doi = 10.1007/978-3-540-24899-6 | zbl=0945.14005 | 언어=fr}}
* {{저널 인용|성=Moerdijk|이름=Ieke|제목=Introduction to the language of stacks and gerbes|날짜=2002|arxiv=math/0212266|언어=en}}
* {{저널 인용|성= Vistoli|이름=Angelo|제목=Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory|날짜=2007|arxiv=math/0412512|bibcode=2004math.....12512V|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[오비폴드]]
* [[스킴 (수학)]]
* [[제르브]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=AlgebraicGeometryStack|title=Algebraic geometry stack}}
* {{매스월드|id=StackofGroupoids|title=Stack of groupoids}}
* {{nlab|id=stack|title=Stack}}
* {{nlab|id=algebraic stack|title=Algebraic stack}}
* {{nlab|id=representable morphism of stacks|title=Representable morphism of stacks}}
* {{nlab|id=geometric stack|title=Geometric stack}}
* {{nlab|id=Artin stack}}
* {{nlab|id=Deligne-Mumford stack}}
* {{nlab|id=algebraic space|title=Algebraic space}}
* {{nlab|id=topological stack|title=Topological stack}}
* {{nlab|id=differentiable stack|title=Differentiable stack}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/15897/in-what-topology-dm-stacks-are-stacks|제목=In what topology DM stacks are stacks?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:범주론]]