스타인메츠 다면체 문서 원본 보기

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[[파일:Steinmetz-solid.svg|섬네일|스타인메츠 다면체 (두 원기둥의 교차된 부분)]]
[[기하학]]에서 '''스타인메츠 다면체'''는 반지름이 같고 서로 수직인 [[원기둥]] 두세 개가 교차되어 만들어진 다면체이다. 이것은 스타인메츠가 연구하기 오래 전부터 알려져 있었지만 그 부피를 계산한 [[찰스 프로테우스 스타인메츠]]의 이름을 따와서 이름을 정했다.<ref>Howard Eves, Slicing it thin, in: David Klarner, The mathematical Gardner, Wadsworth International 1981, S. 111</ref>

원기둥 두 개가 교차되었을 때, 겹치는 부분은 '''바이실린더''' 또는 '''무헤팡가이'''(정사각형 우산 두개라는 의미의 [[중국어]]이다.<ref>http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryByConcept&id=3736{{깨진 링크|url=http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryByConcept&id=3736 }}</ref> 중국어로 쓰면 牟合方蓋이다)라고 부른다. 위상적으로는 사각 [[호소헤드론]]으로 볼 수 있다. 원기둥 세 개가 교차되면, 겹치는 부분을 '''트라이실린더'''라고 부른다.

== 바이실린더 ==
[[파일:Bicylinder Steinmetz solid.gif|right|90px]]

=== 부피 ===
바이실린더는 위상적으로 사각 [[호소헤드론]]과 동일하다. [[아르키메데스]]와 [[조충지]]는 두 원기둥의 반지름이 ''r''인 바이실린더의 부피를 계산했다:

:<math>\frac{16}{3} r^3</math>

[[파일:Sphere volume derivation using bicylinder.jpg|섬네일|right|구를 포함하는 바이실린더의 부피를 계산하는 조충지의 방법([[카발리에리의 원리]]와 유사하다)]] 원기둥 두 개가 교차할 때, 전체 부피는 원기둥 두 개의 부피에 겹치는 부분의 부피 (또는 여기서는 이등분)를 빼서 계산할 수 있다.

바이실린더(흰색)의 부피를 유도하는 것은 정육면체(빨간색)에 채워서 이뤄진다. 바이실린더와 교차하는 (원기둥의 축과 평행한) 평면은 정사각형을 만들고 큰 정육면체와 교차한 것은 큰 정사각형을 만든다. 두 사각형의 면적 차이는 작은 정사각형(파란색) 4개의 면적과 같다. 평면이 이 물체를 통과할 때, 이 파란 사각형은 정육면체의 구석의 이등변
삼각형 옆면으로 가지는 사각뿔로 나타낼 수 있다; 이 사각뿔의 꼭대기는 네 정육면체 모서리의 중점에 위치한다. 바이실린더 전체를 통과해 움직이는 면은 총 8개의 각뿔을 만든다.

[[파일:Bicylinder and cube sections related by pyramids.png|섬네일|left|바이실린더 부분과 정육면체 부분의 면적의 관계]]
정육면체(빨간색)의 부피 빼기 각뿔(파란색) 8개의 부피는 바이실린더(흰색)의 부피이다. [[각뿔#부피|각뿔 8개의 부피]]는 <math>\textstyle 8 \times \frac{1}{3} r^2 \times r = \frac{8}{3} r^3 </math>이므로 바이실린더의 부피를 계산하면 <math>\textstyle (2 r)^3 - \frac{8}{3} r^3 = \frac{16}{3} r^3</math>이다.

=== 표면적 ===
표면적은 16''r''<sup>2</sup>이다. 표면적과 부피의 비 <math>\tfrac{r}{3}</math>은 일반적으로 구에 외접하는 형태족에 적용된다. 이것에는 구 자신과, 원기둥, 정육면체, 그리고 스타인메츠 다면체 두 종류를 포함한다(Apostol and Mnatsakanian 2006).

바이실린더의 표면은 [[타원]]의 인 곡선 네 개로 나뉜 원기둥형 패치 네 개로 이루어져있다. 네 개의 패치와 네 개의 구분하는 곡선은 서로 반대쪽에 있는 꼭짓점 두 개에서 만난다.

=== 파생된 다면체 ===
이등분된 바이실린더는 '''볼트'''<ref>{{웹 인용| author= Weisstein, Eric W.| title= Steinmetz Solid| url= http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html| work= MathWorld&mdash;A Wolfram Web Resource| publisher= Wolfram Research, Inc.| date= c. 1999&ndash;2009| accessdate=2009-06-09}}</ref>, 그리고 이 모양의 건축물을 [[클로이스터 볼트]]라고 부른다.

{{br}}

== 트라이실린더 ==
[[파일:Tricylinder Steinmetz solid.gif|right|90px]]
트라이실린더는 조합적으로 [[마름모십이면체]]와 동등한 타원 호로 연결된 꼭짓점 14개를 가진다. 이것의 부피는 다음과 같다:

:<math>(16 - 8\sqrt{2}) r^3 \, </math>

그리고 표면적은 다음과 같다:

:<math>3(16 - 8\sqrt{2}) r^2. \, </math>

== 더 많은 원기둥 ==
네 개의 원기둥으로는, [[정사면체]]의 꼭짓점과 그 반대편 위치의 점을 잇는 축을 따라 있는 다면체의 부피는 다음과 같다:

:<math>12(2\sqrt{2} - \sqrt{6}) r^3 \, </math>

여섯 개의 원기둥으로는, 축이 [[정육면체]]의 면의 대각선과 평행한 다면체의 부피는 다음과 같다:

:<math>\frac{16}{3} (3 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) r^3 \, </math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 서지학 ==
*{{저널 인용
 |doi          = 10.2307/27641977
 |author1      = Apostol, Tom M.
 |author2      = Mnatsakanian, Mamikon A.
 |title        = Solids circumscribing spheres
 |journal      = [[American Mathematical Monthly]]
 |volume       = 113
 |year         = 2006
 |issue        = 6
 |pages        = 521–540
 |url          = http://www.mamikon.com/USArticles/CircumSolids.pdf
 |mr           = 2231137
 |jstor        = 27641977
 |확인날짜 = 2017년 11월 14일
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20120207004921/http://www.mamikon.com/USArticles/CircumSolids.pdf
 |보존날짜 = 2012년 2월 7일
 |url-status = dead
}}
*{{저널 인용
 | author = [[Jan Hogendijk]]
 | title = The surface area of the bicylinder and Archimedes' Method
 | journal = Historia Math.
 | volume = 29
 | year = 2002
 | issue = 2
 | pages = 199–203
 | mr = 1896975
 | doi = 10.1006/hmat.2002.2349}}
*{{저널 인용
 | author = Moore, M.
 | title = Symmetrical intersections of right circular cylinders
 | url = https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1974-10_58_405/page/n23
 | jstor = 3615957
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | volume = 58
 | issue = 405
 | pages = 181–185
 | year = 1974
 | doi = 10.2307/3615957}}

== 외부 링크 ==
* [http://sketchup.google.com/3dwarehouse/details?mid=b170ed71b798d500a6b083aba0e2034a A 3D model of Steinmetz solid in Google 3D Warehouse] {{웹아카이브|url=https://archive.today/20130124181306/http://sketchup.google.com/3dwarehouse/details?mid=b170ed71b798d500a6b083aba0e2034a |날짜=2013-01-24 }}
*{{매스월드 | urlname = SteinmetzSolid | title = Steinmetz Solid}}

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 공간기하학]]