스콧 계략 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''스콧 계략'''(-計略, {{llang|en|Scott’s trick}})은 집합에 대하여 정의된 개념을 [[모임 (집합론)|모임]] 위로 확장하는 방법이다. 필요한 경우에, 모임이 집합이 되도록 크기를 줄이는 것을 골자로 한다. [[정칙성 공리]]를 사용하며, [[선택 공리]]는 필요로 하지 않는다.

== 정의 ==
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하자. [[모임 (집합론)|모임]] <math>X</math>에 대하여,
:<math>\hat X=\{A\in X|\forall B\in X\colon\operatorname{rank}A\le\operatorname{rank}B\}\subseteq X</math>
가 <math>X</math>의 원소 가운데 [[폰 노이만 전체]]에서의 계수가 최소인 것들의 모임이라고 하자.<ref name="Jech">{{서적 인용|성1=Jech|이름1=Thomas|제목=Set theory|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|언어=en|판=3|총서=Springer Monographs in Mathematics|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2003|isbn=978-3-540-44085-7|issn=1439-7382|doi=10.1007/3-540-44761-X|mr=1940513|zbl=1007.03002|id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|65}} 이러한 최소의 계수가 <math>\alpha</math>라고 할 때, <math>\hat X</math>는 집합 <math>V_{\alpha+1}</math>의 부분 모임이다. 즉, <math>\hat X</math>는 [[집합]]이다. <math>\hat X=\varnothing</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>X=\varnothing</math>이다. 이를 '''스콧 계략'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 동치류 ===
{{본문|동치 관계}}
[[모임 (집합론)|모임]] 위에 [[동치 관계]]가 주어졌을 때, [[동치류]]는 [[고유 모임]]일 수 있으므로, 동치류들의 모임을 정의할 수 없다. 그러나 [[동치류]]들에 스콧 계략을 가하여 만든 집합들은 동치류들과 [[일대일 대응]]하므로, 이 집합들로 구성된 모임을 동치류들의 모임으로 여길 수 있다.

특히, [[선택 공리]] 없이도 [[기수 (수학)|기수]]나 [[동형류]]를 집합으로서 정의할 수 있다.

=== 정초 관계 ===
{{본문|정초 관계}}
[[모임 (집합론)|모임]] 위에 [[이항 관계]]가 주어졌을 때, [[공집합]]이 아닌 모든 [[부분 집합]]이 [[극소 원소]]를 갖는다는 사실은 [[공집합]]이 아닌 모든 부분 모임이 [[극소 원소]]를 갖는다는 사실을 함의한다. 이에 대한 증명은 스콧 계략을 사용한다. 구체적으로, 이 증명은 [[모임 (집합론)|모임]] <math>X</math> 위의 [[이항 관계]] <math>R\subseteq X\times X</math>의 왼쪽 성분들의 모임
:<math>\{A\in X|\exists B\in Y\colon(A,B)\in R\}\qquad(Y\subseteq X)</math>
에 대하여 스콧 계략을 가한다.

== 역사 ==
[[데이나 스콧]]이 1955년 7월 18일 [[브리티시컬럼비아 대학교]] [[밴쿠버]] 캠퍼스에서 열린 제515회 [[미국 수학회]] 회의에서 소개하였다.<ref name="Klee Jr.">{{저널 인용
|성=Klee Jr.
|이름=V. L.
|제목=The June meeting in Vancouver
|언어=en
|저널=Bulletin of the American Mathematical Society
|권=61
|호=5
|쪽=433–444
|날짜=1955
|issn=0002-9904
|mr=1565713
}}</ref>{{rp|442, 626t}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Scott's trick}}

[[분류:집합론]]