스칼라 곡률 문서 원본 보기

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'''스칼라 곡률'''(scalar曲率, {{llang|en|scalar curvature}} 또는 {{lang|en|Ricci scalar}})은 [[리치 곡률 텐서]]의 [[대각합]]이다. [[리만 다양체]]의 [[곡률]]을 나타내는 [[스칼라장]]이다. 기호는 대개 지표({{lang|en|index}}) 표기법에서는 <math>R</math>이나, 지표를 쓰지 않는 표기법에서는 [[리만 곡률 텐서]] 및 [[리치 곡률 텐서]]와 혼동되므로 <math>S</math> 또는 <math>s</math>를 쓰기도 한다.

== 정의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 [[리치 곡률 텐서]] <math>\operatorname{Ric}</math>을 생각하자. 스칼라 곡률은 ([[계량 텐서]] <math>g</math>의 역을 써 정의한) 리치 텐서의 [[대각합]]이다. 즉,
:<math>S=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}</math>
지표를 넣어 쓰면 다음과 같다.
:<math>S=R_{ij}g^{ij}</math>.

== 성질 ==
2차원에서는 [[리만 곡률 텐서]]의 성분이 대칭에 따라 하나밖에 없다. 따라서 스칼라 곡률만으로 곡률이 결정된다. 또한, 2차원에서는 [[가우스 곡률]]의 두 배다.

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]