슈타인 다양체 문서 원본 보기

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[[복소다변수론]]에서 '''슈타인 다양체'''(Stein多樣體, {{llang|en|Stein manifold}})는 복소 [[벡터 공간]]의 부분공간으로 나타낼 수 있는 다양체다. 다변수 정칙함수의 [[정의역]]으로 쓰인다.

== 정의 ==
[[복소다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 다양체를 '''슈타인 다양체'''라고 한다.
* [[고유 함수|고유]] [[정칙 함수|정칙]] [[몰입 (수학)|매끄러운 몰입]] <math>M\hookrightarrow\mathbb C^n</math>이 존재한다.
* <math>M</math>은 다음 두 조건을 만족시킨다. 여기서 <math>\mathcal O(X)</math>는 <math>X</math> 위의 [[정칙함수]]들의 [[가환환]]이다.
** (정칙 볼록성 {{llang|en|holomorphic convexity}}) <math>X</math>의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분공간의 '''정칙 볼록 폐포'''({{llang|en|holomorphic convex hull}})는 콤팩트하다.
** (정칙 분해 가능성) 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>가 주어지면, <math>f(x)\ne f(y)</math>인 [[정칙 함수]] <math>f\in\mathcal O(X)</math>가 존재한다. 즉, 점들을 [[정칙 함수]]들로 구별할 수 있다.

여기서 콤팩트 부분 공간 <math>K\subset X</math>의 '''정칙 볼록 폐포''' <math>\bar K</math>는 다음과 같다.
:<math>\bar K = \{z \in X: |f(z)| \le \sup_K |f| \ \forall f \in \mathcal O(X)\}</math>

== 성질 ==
모든 슈타인 다양체는 [[콤팩트 공간]]이 아니다.

* 1차원 복소다양체([[리만 곡면]])가 슈타인 다양체인지 여부는 [[연결 공간|연결]] 비콤팩트 [[리만 곡면]]인지와 [[동치]]이다. 이는 [[하인리히 벵케]](Heinrich Behnke)와 [[카를 슈타인]](Karl Stein)이 1948년 증명하였고, 어려운 정리이다.

슈타인 다양체 위의 [[연접층]]에 대하여, [[카르탕 정리]]가 성립한다. 이에 따라, 슈타인 다양체 위의 [[쿠쟁 문제]]를 쉽게 풀 수 있다. [[카르탕 정리]] 및 [[가가 정리]]에 따라, 슈타인 다양체는 대략 [[아핀 스킴]]에 대응하는 개념이다.

== 예 ==
* 유한 차원 복소 벡터 공간 <math>\mathbb C^n</math>은 슈타인 다양체다.
* <math>\mathbb C^n</math>의 부분공간인 모든 [[정칙영역]](domain of holomorphy)은 슈타인 다양체다.
* 슈타인 다양체의 닫힌 부분 복소 다양체 또한 슈타인 다양체다.

== 역사 ==
[[카를 슈타인]]({{llang|de|Karl Stein}})이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=0043219|zbl=0042.08703|성=Stein|이름= Karl|저자링크=카를 슈타인|title=Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem|저널=
Mathematische Annalen|issn=0025-5831|권=123|호=1|날짜=1951|pages=201–222|doi=10.1007/BF02054949|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Forster | first=Otto | title=Lectures on Riemann surfaces | publisher=Springer Verlag | location=New-York | series=Graduate Text in Mathematics | isbn=0-387-90617-7 | year=1981 | volume=81}}
* {{서적 인용 | last=Hörmander | first=Lars | authorlink=라르스 회르만데르 | title=An introduction to complex analysis in several variables | publisher=North-Holland Publishing Co. | location=Amsterdam | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-88446-6 | mr=1045639  | year=1990 | volume=7}}
* {{저널 인용 | last=Gompf | first=Robert E. | title=Handlebody construction of Stein surfaces | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1998-09_148_2/page/n260 | mr=1668563  | year=1998 | journal=Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series | issn=0003-486X | volume=148 | issue=2 | pages=619–693 | doi=10.2307/121005 | jstor=121005 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2}}
*{{서적 인용|mr=0580152|last=Grauert|first= Hans|공저자=Reinhold Remmert|title=Theory of Stein spaces|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=236|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1979|isbn= 3-540-90388-7 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stein manifold}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Stein+manifold|제목=Stein manifold|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소다양체]]