슈어 직교 관계 문서 원본 보기

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[[군 표현론]]에서 '''슈어 직교 관계'''(Schur直交關係, {{llang|en|Schur orthogonality relation}})는 [[유한군]]이나 보다 일반적으로 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]에서 성립하는, [[군의 표현|표현]]들의 성분 또는 [[군의 표현의 지표|지표]] 사이의 일련의 직교 관계에 대한 정리이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]이라고 하자. 이러한 군은 좌·우 [[하르 측도]]가 일치하며, 군의 총 측도가 1이 되게 (즉, [[확률 공간]]이 되게) 규격화할 수 있다.

그렇다면, <math>G</math>의 복소수 [[연속 함수|연속]] [[기약 표현]]들의 (동형류의) 집합을 <math>\{\pi_\alpha\}_{a\in I}</math>라고 하자. 이들은 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]
:<math>\pi_\alpha\colon G\to\operatorname{GL}(V_\alpha)</math>
이며, <math>V_\alpha</math>는 모두 유한 차원 복소 벡터 공간이다. 또한, 각 <math>V_\alpha</math>에 기저를 주어, 유한 차원 복소 [[힐베르트 공간]]으로 만들자. <math>V_i</math>의 [[정규 직교 기저]]를 <math>\{|e_i\rangle\}_{i=1,\dots,\dim V_\alpha}</math>라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\int_G\overline{\langle e_{i'}|\pi_{\alpha'}(g)|e_{j'}\rangle}\langle e_i|\pi_\alpha(g)|e_j\rangle\,dg=\frac1{\dim V_\alpha}\delta_{\alpha,\alpha'}\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}</math>
따라서, [[군 표현의 지표|지표]]에 대해서는 다음이 성립한다.
:<math>\int_G\overline{\operatorname{tr}\pi_{\alpha'}(g)}\operatorname{tr}\pi_\alpha(g)\,dg=\delta_{\alpha,\alpha'}</math>

=== 유한군에 대한 슈어 직교성 ===
<math>G</math>가 ([[이산 위상]]의) [[유한군]]이라고 하자. 이 경우, 하르 측도는 [[셈측도]]에 비례한다.

이 경우, 다음이 추가로 성립한다. 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여,
:<math>\sum_{\alpha\in I}\overline{\operatorname{tr}\pi_\alpha(h)} \operatorname{tr}\pi_\alpha(g) = |C_G(g)|\delta_{[g],[h]}</math>
여기서 <math>[g],[h]\in\operatorname{Cl}(G)</math>는 군의 원소의 [[공액류]]이며, <math>|C_G(g)|</math>는 <math>g</math>의 [[중심화 부분군]] <math>C_G(g)</math>의 [[집합의 크기|크기]]이다.

== 역사 ==
[[이사이 슈어]]가 유한군에 대하여 증명하였다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Schur orthogonality relation}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:군론]]