슈어 분해 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''슈어 분해'''(-分解, {{llang|en|Schur decomposition}})는 임의의 [[복소수]] [[정사각 행렬]]을 이와 [[유니터리 행렬|유니터리]] [[행렬의 닮음|닮음]]인 [[상삼각 행렬]]로 나타내는 [[행렬 분해]]이다.<ref name="Anton">Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.</ref><ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio0004golu|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref><ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>

== 정의 ==
=== 슈어 분해 ===
임의의 복소수 <math>n\times n</math> [[행렬]] <math>M</math>은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 <math>M</math>의 '''(복소수) 슈어 분해'''((複素數)-分解, {{llang|en|(complex) Schur decomposition}})라고 한다 (<math>(-)^\dagger</math>는 [[켤레 전치]]).<ref name="Golub" />{{rp|351, §7.1.3, Theorem 7.1.3}}<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|316, §8.5, Corollary}}
:<math>M=QTQ^\dagger</math>
여기서
* <math>Q</math>는 <math>n\times n</math> [[유니터리 행렬]]이다.
* <math>T</math>는 복소수 <math>n\times n</math> [[상삼각 행렬]]이다.
이 경우, <math>T</math>의 대각 성분들은 <math>M</math>의 [[고윳값]]의 [[중복 집합]]을 이룬다. 만약 <math>M</math>이 [[정규 행렬]]일 경우, <math>T</math>는 [[대각 행렬]]이 된다 (이는 [[상삼각 행렬|상삼각]] [[정규 행렬]]이 [[대각 행렬]]과 [[동치]]이기 때문이다).

=== 실수 슈어 분해 ===
임의의 실수 <math>n\times n</math> [[행렬]] <math>M</math>은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 <math>M</math>의 '''실수 슈어 분해'''(實數-分解, {{llang|en|real Schur decomposition}})라고 한다 (<math>(-)^\top</math>은 [[전치 행렬]]).<ref name="Golub" />{{rp|377, §7.4.1, Theorem 7.4.1}}
:<math>M=QTQ^\top</math>
여기서
* <math>Q</math>는 실수 <math>n\times n</math> [[직교 행렬]]이다.
* <math>T</math>는 실수 <math>n\times n</math> [[블록 상삼각 행렬]]이며, 각 대각 블록 성분은 <math>1\times 1</math> 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 [[켤레 복소수]]를 [[고윳값]]으로 갖는 <math>2\times 2</math> 행렬이다.
이 경우, <math>M</math>의 [[고윳값]]은 <math>T</math>의 대각 블록 성분의 [[고윳값]]이며, 실수 [[고윳값]]은 <math>T</math>의 <math>1\times 1</math> 대각 성분이다. 만약 <math>M</math>의 모든 [[고윳값]]이 실수일 경우, <math>T</math>는 [[상삼각 행렬]]이 된다.<ref name="Anton" />{{rp|656}} 만약 <math>M</math>이 [[대칭 행렬]]일 경우, <math>T</math>는 [[대각 행렬]]이 된다.

=== 일반화 슈어 분해 ===
임의의 두 복소수 <math>n\times n</math> 행렬 <math>M</math>, <math>N</math>은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 <math>(M,N)</math>의 '''(복소수) 일반화 슈어 분해'''((複素數)一般化-分解, {{llang|en|(complex) generalized Schur decomposition}})라고 한다.<ref name="Golub" />{{rp|406, §7.7.2, Theorem 7.7.1}}
:<math>M=QSZ^\dagger</math>
:<math>N=QTZ^\dagger</math>
여기서
* <math>Q</math>와 <math>Z</math>는 <math>n\times n</math> [[유니터리 행렬]]이다.
* <math>S</math>와 <math>T</math>는 복소수 <math>n\times n</math> [[상삼각 행렬]]이다.
이 경우, <math>(M,N)</math>의 [[일반화 고윳값]]의 집합은 다음과 같다.
:<math>\sigma(M,N)=\sigma(S,T)=
\begin{cases}
\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\ne 0\} & \not\exist i\in\{1,\dots,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0 \\
\mathbb C & \exist i\in\{1,\dots,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0
\end{cases}
</math>

=== 실수 일반화 슈어 분해 ===
임의의 두 복소수 <math>n\times n</math> 행렬 <math>M</math>, <math>N</math>은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 <math>(M,N)</math>의 '''실수 일반화 슈어 분해'''(實數一般化-分解, {{llang|en|real generalized Schur decomposition}})라고 한다.<ref name="Golub" />{{rp|407, §7.7.2, Theorem 7.7.2}}
:<math>M=QSZ^\top</math>
:<math>N=QTZ^\top</math>
여기서
* <math>Q</math>와 <math>Z</math>는 실수 <math>n\times n</math> [[직교 행렬]]이다.
* <math>S</math>는 실수 <math>n\times n</math> [[블록 상삼각 행렬]]이며, 각 대각 블록 성분은 <math>1\times 1</math> 또는 <math>2\times 2</math> 행렬이다.
* <math>T</math>는 실수 <math>n\times n</math> [[상삼각 행렬]]이다.

== 역사 ==
유대계 독일인 수학자 [[이사이 슈어]]의 이름이 붙었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SchurDecomposition|제목=Schur decomposition}}

[[분류:행렬 분해]]
[[분류:행렬론]]