슈어 보조정리 문서 원본 보기

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'''슈어 보조정리'''({{lang|en|Schur's lemma}})는 [[군의 표현|군 표현론]]에서 [[기약 표현]] 사이의 [[군의 작용]]과 가환하는 선형사상은 [[가역 사상]]이거나 0이라는 [[보조정리]]다.

== 정의 ==
<math>R</math>가 [[환 (수학)|환]]이고, <math>M</math>과 <math>N</math>이 <math>R</math>에 대한 [[단순 가군]]이라고 하자. 그렇다면 [[가군 준동형]] <math>M\to N</math>은 [[가역 사상]]이거나 [[상수 함수]] 0(영 사상)이다. 이 사실을 '''슈어 보조정리'''라고 한다.

=== 군에 대한 슈어 보조정리 ===
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고, <math>V</math>가 [[벡터 공간]]이고, <math>\rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)</math>가 [[군의 표현]]이라고 하자. 그렇다면 <math>V</math>는 <math>\rho</math>로 인하여 [[군환]] <math>V[G]</math>에 대한 [[가군]]을 이룬다. 이 때, <math>V</math>가 [[단순 가군]]임과  <math>\rho</math>가 [[기약 표현]]임은 필요충분조건이다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 <math>G\to\operatorname{GL}(V_1),\operatorname{GL}(V_2)</math>사이, 군 작용과 가환하는 [[선형 변환]] <math>V_1\to V_2</math>([[가군 준동형|가군 준동형 사상]])은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 [[기약 표현]]의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.

== 응용 ==
슈어 보조정리는 [[군 표현론]]에서 다음과 같이 쓰인다. [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>R</math>가 주어졌다고 하고, <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>가 <math>R</math> 위의 [[단순 가군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>V</math>의 [[자기 사상환]]
:<math>\operatorname{End}_RV=\hom_{R\text{-Mod}}(V,V)</math>
을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 <math>\operatorname{End}_RV</math>는 <math>K</math> 위의 [[나눗셈환]]이다. <math>M</math>이 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이며, <math>K</math>가 비가산 [[대수적으로 닫힌 체]] (예를 들어, [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>)라면,  그 위의 [[나눗셈환]]은 <math>K</math> 자체밖에 없으며, 따라서 <math>\operatorname{End}_RV=K</math>이다. 다시 말해, <math>R</math>의 모든 원소와 가환인 <math>V</math> 위의 [[선형 변환]]은 [[항등 함수]]의 스칼라배 밖에 없다.

특히, <math>R=U(\mathfrak g)</math>가 [[복소수]] [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 [[보편 포락 대수]]라고 하고, <math>\mathfrak g</math>의 복소수 [[기약 표현]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 <math>\mathfrak g</math>의 [[카시미르 불변량]] ([[보편 포락 대수]]의 중심) <math>C\in Z(U(\mathfrak g))</math>는 <math>V</math> 위에 [[항등 함수]]의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

== 역사 ==
[[이사이 슈어]]가 1905년 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Issai|성=Schur|저자링크=이사이 슈어|연도=1905|제목=Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere|저널=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|권=1905|쪽=406-432|url=http://books.google.com/books?id=KwUoAAAAYAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[슈어 보수행렬]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Schur lemma}}
* {{eom|title=Irreducible module}}
* {{매스월드|id=SchursRepresentationLemma|title=Schur's representation lemma}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:보조정리]]