슈바르츠실트 해 유도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]에서, [[슈바르츠실트 계량|슈바르츠실트 해]]는 [[아인슈타인 방정식|중력장 방정식]]의 한 해로, 거대하고 회전하지 않는 구형 대칭 물체의 영향을 받는 [[시공간]]을 설명한다. 이 해는 [[아인슈타인 방정식|중력장 방정식]]에 대한 가장 단순하고 가장 유용한 해 중 하나로 여겨진다. 독일 물리학자 [[카를 슈바르츠실트]]가 1916년 1월에 발표하였다.

== 가정 및 표기법 ==
각각 1에서 4로 아래 첨자가 지정된 <math> \left(r, \theta, \phi, t \right)</math> 좌표를 쓰는 좌표 조각에서 가장 일반적인 형태(각각 매끄러운 4 변수 함수인 10개의 독립적인 성분)의 계량으로 시작하자. 해는 구형 대칭을 가지고 정적인 진공으로 가정된다. 이 문서의 목적을 위해 이러한 가정은 다음과 같이 명시될 수 있다(정확한 정의는 관련 링크 참조).

# 구형 대칭 시공간은 회전과 반사에 대해 변하지 않는 시공간이다.
# 정적 시공간은 모든 계량 성분이 시각 좌표 <math>t</math>와 독립적인 시공간이다.(즉, <math>\tfrac\partial{\partial t}g_{\mu \nu}=0</math> ) 그리고, 시공간의 기하학은 시각 반전 <math>t \rightarrow -t</math>에 대해 변경되지 않는다.  .
# [[아인슈타인 방정식|진공]] 해는 방정식 <math>T_{ab}=0</math>을 만족하는 해이다. [[우주상수|우주 상수]]가 0인 [[아인슈타인 방정식|중력장 방정식]]으로부터. 이는 축약 <math> R_{ab}-\tfrac{R}{2} g_{ab}=0</math>이 <math>R = 0</math>이기 때문에 <math>R_{ab}=0</math>을 의미한다.
# 여기에 사용된 [[계량 부호수]]은 <math>(+,+,+,-)</math>이다.

== 계량의 대각화 ==
첫 번째 단순화는 계량을 대각화하는 것이다. [[좌표계|좌표 변환]] <math>(r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, \phi, -t)</math>에 대해 모든 계량 성분은 동일하게 유지되어야 한다. 계량 성분 <math>g_{\mu 4}</math> ( <math>\mu \ne 4</math> )은 이 변환에서

: <math>g_{\mu 4}'=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{'\mu}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{'4}} g_{\alpha \beta}= -g_{\mu 4}</math> ( <math>\mu \ne 4</math> )

과 같이 변한다. 하지만, <math>g'_{\mu 4}= g_{\mu 4}</math>이 성립한다. (계량 성분은 동일하게 유지된다.) 이는

: <math>g_{\mu 4}=\, 0</math> ( <math>\mu \ne 4</math> )

을 의미한다. 마찬가지로 두 좌표 변환 <math>(r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, -\phi, t)</math>과  <math>(r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, -\theta, \phi, t)</math>로 부터.

: <math>g_{\mu 3}=\, 0</math> ( <math>\mu \ne 3</math> )
: <math>g_{\mu 2}=\, 0</math> ( <math>\mu \ne 2</math> )

를 얻는다. 이 모든 것을 합치면 다음이 성립한다:

: <math>g_{\mu \nu }=\, 0 </math> ( <math> \mu \ne \nu </math> ).

따라서, 계량은 다음과 같은 형식이어야 한다:

: <math>ds^2=\, g_{11}\,d r^2 + g_{22} \,d \theta ^2 + g_{33} \,d \phi ^2 + g_{44} \,dt ^2</math>

여기서 4개 계량 성분은 정적이라는 가정에 의해 시각 좌표 <math>t</math>와 독립적이다.

== 성분 단순화 ==
<math>t</math>, <math>\theta</math>, <math>\phi</math>를 각각 상수로 두었을 때 (즉, 각 방사형 선에서) 이에 해당하는 각 [[초곡면]]에서, 구형 대칭 가정 때문에 <math>g_{11}</math>는 <math>r</math>에 대해서만 변한다. 따라서 <math>g_{11}</math>는 일변수 함수이다.

: <math>g_{11}=A\left(r\right)</math>

<math>g_{44}</math>에 대해서도 비슷한 방법으로

: <math>g_{44}=B\left(r\right)</math>

를 얻는다. <math>t</math>가 상수인 초곡면과 <math>r</math>이 상수인 초곡면에서, 계량은 2차원 구의 계량이어야 한다.

: <math>dl^2=r_{0}^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta\, d \phi^2)</math>

이러한 초곡면(반지름 <math>r_{0}</math>) 중 하나를 선택한다.  예를 들어, 이 초곡면으로 제한된 계량 성분(우리는 <math>\tilde{g}_{22}</math> 그리고 <math>\tilde{g}_{33}</math> )는 다음을 통한 회전에서 변경되지 않아야 한다. <math>\theta</math> 그리고 <math>\phi</math> (다시, 구형 대칭에 의해). 이 초곡면에서 계량의 형식을 비교하면 다음이 제공된다.

: <math>\tilde{g}_{22}\left(d \theta^2 + \frac{\tilde{g}_{33}}{\tilde{g}_{22}} \,d \phi^2 \right) = r_{0}^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta \,d \phi^2)</math>

즉시 다음 결과를 얻는다:

: <math>\tilde{g}_{22}=r_{0}^2</math> 그리고 <math>\tilde{g}_{33}=r_{0}^2 \sin ^2 \theta</math>.

그러나 이것은 각 초곡면을 유지하는 데 필요하다. 그 후,

: <math>g_{22}=\, r^2</math> 그리고 <math>g_{33}=\, r^2 \sin^2 \theta</math>.

<math>g_{22}</math>와 <math>g_{33}</math>가 평탄한 시공간에서와 같아야함을 직관적으로 볼 수 있는 대안적인 길은, [[탄성]] 물질을 구형 대칭으로 급격하게 늘리거나 압축해도 두 점 사이의 [[각 (수학)|각도]] 거리가 변경되지 않는다는 점에 주목하는 것이다.

따라서 계량은 다음 형식으로 놓을 수 있다.

: <math>ds^2=A\left(r\right)dr^2+r^2\,d \theta^2+r^2 \sin^2 \theta \,d \phi^2 + B\left(r\right) dt^2</math>

여기서 <math>A</math>, <math>B</math>는 <math>r</math>을 변수로 하는 아직 정의되지 않은 함수이다. 만약 <math>A</math> 또는 <math>B</math>가 어떤 점에서 0이면, 계량은 해당 점에서 [[특이점 (해석학)|특이점]]을 갖는다.

== 크리스토펠 기호 계산 ==
위의 계량을 사용하여 첨자가 <math>(1,2,3,4)=(r,\theta,\phi,t)</math>과 같은 [[크리스토펠 기호]]를 찾는다.  <math>'</math>표시는 함수의 전체 도함수를 나타낸다.

: <math>\Gamma^1_{ik} = \begin{bmatrix}
A'/\left( 2A \right) & 0 & 0 & 0\\
0 & -r/A & 0 & 0\\
0 & 0 & -r \sin^2 \theta /A & 0\\
0 & 0 & 0 & -B'/\left( 2A \right) \end{bmatrix}</math>

: <math>\Gamma^2_{ik} = \begin{bmatrix}
0 & 1/r & 0 & 0\\
1/r & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -\sin\theta\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>

: <math>\Gamma^3_{ik} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1/r & 0\\
0 & 0 & \cot\theta & 0\\
1/r & \cot\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>

: <math>\Gamma^4_{ik} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & B'/\left( 2B \right)\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
B'/\left( 2B \right) & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

== 장 방정식을 사용하여 A(r)와 B(r) 찾기 ==
<math>A</math>와 <math>B</math>를 결정하기 위해, [[아인슈타인 방정식|진공 장 방정식]]

: <math>R_{\alpha\beta}=\, 0</math>

이 사용된다. 따라서,

: <math>{\Gamma^\rho_{\beta\alpha,\rho}} - \Gamma^\rho_{\rho\alpha,\beta}
+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\beta\alpha}
- \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}=0\ </math>

이다. 여기서 아래 첨자에 있는 쉼표는 미분에 사용되는 좌표를 나타내는 데 사용된다. 리치 곡률은 주어진 좌표에서 대각이다.

: <math>R_{tt} = -\frac{1}{4}\frac{B'}{A}\left(\frac{A'}{A}-\frac{B'}{B}+\frac{4}{r}\right) -\frac{1}{2}\left(\frac{B'}{A}\right)^{'}\,,</math>

: <math>R_{rr} = -\frac{1}{2}\left(\frac{B'}{B}\right)^{'} -\frac{1}{4}\left(\frac{B'}{B}\right)^{2} + \frac{1}{4}\frac{A'}{A}\left(\frac{B'}{B}+\frac{4}{r}\right)\,,</math>

: <math>R_{\theta\theta} = 1-\left(\frac{r}{A}\right)^{'} -\frac{r}{2A}\left(\frac{A'}{A}+\frac{B'}{B}\right)\,,</math>

: <math>R_{\phi\phi} = \sin^2(\theta)R_{\theta\theta} </math>

여기서 <math>'</math>은 각 함수의 <math>r</math>에 대한 도함수를 의미한다.

장 방정식 중 3개만이 자명하지 않으며 단순화하면 다음과 같다.

: <math>4 A' B^2 - 2 r B'' AB + r A' B'B + r B' ^2 A=0\,,</math>

: <math>r A'B + 2 A^2 B - 2AB - r B' A=0\,,</math>

: <math> - 2 r B'' AB + r A' B'B + r B' ^2 A - 4B' AB=0</math>

(네 번째 방정식은 두 번째 방정식 양변에 <math>\sin^2 \theta</math> 곱한 식이다.) 첫 번째 방정식과 세 번째 방정식을 빼면 다음을 얻는다:

: <math>A'B +A B'=0 \Rightarrow A(r)B(r) =K</math>

여기서 <math>K</math>는 0이 아닌 실수 상수이다. <math>A(r)B(r) \, =K</math>임을 두 번째 방정식에 적용해 정리하면

: <math>r A' =A(1-A)</math>

을 얻고, 이 방정식은 0이 아닌 실 상수 <math>S</math>에 대해 일반적인 해

: <math>A(r)=\left(1+\frac{1}{Sr}\right)^{-1}</math>

를 가진다. 따라서 정적인 구형 대칭 진공 해에 대한 계량은

: <math>ds^2=\left(1+\frac{1}{S r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2)+K \left(1+\frac{1}{S r}\right)dt^2.</math>

위의 계량으로 표현되는 시공간은 [[점근적 평탄 다양체|점근적으로 평탄]]하다. 즉, <math>r \rightarrow \infty</math>일 때 계량은 [[민코프스키 공간|민코프스키 계량]]에 접근하고 시공간 다양체는 [[민코프스키 공간]]과 유사하다.

== 약한 장 근사법을 사용하여 K와 S 찾기 ==
[[파일:Weak_field_approximation_diagram.svg|섬네일|300x300픽셀| 이 다이어그램은 약한 장 근사를 사용하여 슈바르츠실트 해를 찾는 경로를 제공한다. 두 번째 행의 등식은 모션이 블랙홀에서 멀리 떨어진 곳에서 발생할 때(<math>r</math>이 양의 무한대에 접근할 때) 원하는 해가 민코프스키 계량으로 퇴보한다고 가정하여 <math>g_{44}=-c^2+2GM/r</math>을 제공한다.]]
계량의 측지선(여기서 얻은 <math>ds</math>)는 어떤 극한(예: 빛의 속도를 무한대로 보내기)에서 뉴턴 운동의 해(예: [[라그랑주 역학|라그랑주 방정식]]으로 구한 해)와 일치해야 한다. (계량은 나타내는 질량이 사라질 때 [[민코프스키 공간]]으로 제한해야 한다.)

: <math>0=\delta\int\frac{ds}{dt}dt=\delta\int(KE+PE_g)dt</math>

여기서 <math>KE</math>는 운동 에너지이고 <math>PE_g</math>는 중력으로 인한 퍼텐셜 에너지이다. 상수 <math>K</math>와 <math>S</math>는 이 접근법의 일부 변형에 의해 완전히 결정된다. [[피에르츠-파울리 작용|약한 장 근사]]에서 다음 결과에 도달한다:

: <math>g_{44}=K\left(1 +\frac{1}{Sr}\right) \approx -c^2+\frac{2Gm}{r} = -c^2 \left(1-\frac{2Gm}{c^2 r} \right)</math>

여기서 <math>G</math>는 [[중력 상수]] 이고, <math>m</math>는 중력원의 질량이고 <math>c</math>는 빛의 속도이다. 그리고

: <math>K=\, -c^2, \frac{1}{S}=-\frac{2Gm}{c^2}</math>

이므로

: <math>A(r)=\left(1-\frac{2Gm}{c^2 r}\right)^{-1}</math> 그리고 <math>B(r)=-c^2 \left(1-\frac{2Gm}{c^2 r}\right)</math>

이 성립한다. 따라서 [[슈바르츠실트 계량]]은 최종적으로 다음과 같이 적을 수 있다.

: <math>ds^2=\left(1-\frac{2Gm}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2)-c^2 \left(1-\frac{2Gm}{c^2 r}\right)dt^2</math>

한편,

: <math>\frac{2Gm}{c^2}=r_s</math>

는 질량 <math>m</math>인 물체에 대한 [[슈바르츠실트 반지름]]의 정의이다. 따라서 슈바르츠실트 계량은 다음으로 대체하여 다시 적을 수 있다:

: <math>ds^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\phi^2)-c^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2</math>

이는 계량이 [[사건의 지평선|사건의 지평]]에 접근하면서 (즉, <math>r \rightarrow r_s</math>) 특이점이 됨을 보여준다. 계량 특이점은 적절한 좌표 변환(예: 크루스칼-세케레스 좌표계)을 사용하여 특이점이 아니도록 표시할 수 있다. 따라서 계량 특이점은 물리적으로 중요한 해석을 가지지 않는다. 반면에, <math>r=0</math>에서 특이점은 [[중력 특이점]]이라 부르며, 물리적으로 중요한 의미를 지닌다.

== 특수한 경우에 알려진 물리학을 사용한 대체적 유도 ==
슈바르츠실트 계량은 원형 궤도 및 임시적으로 고정된 점질량에 대한 알려진 물리학을 사용하여 유도될 수도 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.mathpages.com/rr/s5-05/5-05.htm|제목=Reflections on Relativity|성=Brown|이름=Kevin}}</ref> 결정되지 않은 <math>A(r)</math>와 <math>B(r)</math>를 가진 다음 방정식에서 출발한다:

: <math>-c^2 = \left ( {ds \over d\tau} \right )^2 = A(r)\left ( {dr \over d\tau} \right )^2 + r^2\left ( {d\phi \over d\tau} \right )^2 + B(r)\left( {dt \over d\tau} \right)^2.</math>

이제 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 호 길이 적분<math>{ J=\int_{\tau_1}^{\tau_2} \sqrt{-\left(\text{d}s/\text{d}\tau\right)^2 }\, \text{d}\tau }</math>에 적용한다. <math>ds/d\tau</math>가 상수이기 때문에, 피적분 함수를 <math>(\text{d}s/\text{d}\tau)^2</math>으로 대체할 수 있다. 오일러-라그랑주 방정식은 피적분 함수에 상수를 곱하면 정확히 동일하기 때문이다. 오일러-라그랑주 방정식을 수정된 피적분 함수로 바꾼 <math>J</math>에 적용하면 다음을 얻는다:

: <math>\begin{array}{lcl} A'(r)\dot{r}^2 + 2r\dot{\phi}^2 + B'(r)\dot{t}^2 & = & 2A'(r)\dot{r}^2 + 2A(r)\ddot{r} \\ 0 & = & 2r\dot{r}\dot{\phi} + r^2\ddot{\phi} \\ 0 & = & B'(r)\dot{r}\dot{t} + B(r)\ddot{t} \end{array}</math>

여기서 위의 점은 <math>\tau</math>에 대한 미분을 나타낸다.

원형 궤도에서 <math>\dot{r}=\ddot{r}=0</math>이 성립하므로, 위의 첫 번째 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다:

: <math>2r\dot{\phi}^2 + B'(r)\dot{t}^2 = 0 \Leftrightarrow B'(r) = -2r\dot{\phi}^2/\dot{t}^2 = -2r(d\phi/dt)^2.</math>

[[케플러의 행성운동법칙|케플러의 행성 운동 제3법칙]]은

: <math>\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}.</math>

주기 <math>T</math>가  <math>2\pi / (d\phi/dt)</math>인 원형 궤도에서 다음을 암시한다:

: <math>\left( {d\phi \over dt} \right)^2 = GM/r^3</math>

왜냐하면, 점 질량 <math>m</math>을 중심 물체의 질량 <math>M</math>에 비해 무시할 수 있기 때문이다. 그래서 <math>B'(r) = -2GM/r^2 </math>이고 이를 적분하면<math>B(r) = 2GM/r + C </math>이다. 여기서 <math>C </math>는 알 수 없는 적분 상수이다. <math>C </math>는 <math>M=0 </math>일 때를 설정하여 결정할 수 있다. 이 경우 시공간은 평평하고 <math>B(r)=-c^2. </math> 따라서 <math>C = -c^2 </math>이고

: <math>B(r) = 2GM/r - c^2 = c^2(2GM/c^2r - 1) = c^2(r_s/r - 1). </math>

이 된다. 점질량이 일시적으로 정지해 있을 때, <math>\dot{r}=0 </math>이고 <math>\dot{\phi}=0. </math> 원래 계량 방정식은  <math>\dot{t}^2 = -c^2/B(r)</math>이 되며 위의 첫 번째 오일러-라그랑주 방정식은 <math>A(r) = B'(r)\dot{t}^2 / (2\ddot{r})</math>이 된다. 점질량이 일시적으로 정지해 있을 때, <math>\ddot{r}</math>는 [[중력|중력 가속도]]<math>-MG/r^2</math>이다. 그래서

: <math>A(r) = \left(\frac{-2MG}{r^2}\right) \left(\frac{-c^2}{2MG/r - c^2}\right) \left(-\frac{r^2}{2MG}\right) = \frac{1}{1 - 2MG/(rc^2)} = \frac{1}{1 - r_s/r}.</math>

== 등방 좌표의 대체 형식 ==
계량의 원래 공식은 빛의 속도가 방사형과 가로 방향에서 동일하지 않은 이방성 좌표를 사용한다. [[아서 스탠리 에딩턴]]은 등방성 좌표에서 다른 형식을 제공했다.<ref>A S Eddington, [https://books.google.com/books?id=Hhg0AAAAIAAJ&pg=PA93 "Mathematical Theory of Relativity"], Cambridge UP 1922 (2nd ed.1924, repr.1960), at [https://books.google.com/books?id=Hhg0AAAAIAAJ&pg=PA85 page 85] and [https://books.google.com/books?id=Hhg0AAAAIAAJ&pg=PA93 page 93]. Symbol usage in the Eddington source for interval s and time-like coordinate t has been converted for compatibility with the usage in the derivation above.</ref> 등방성 구형 좌표의 경우 <math>r_1</math>, <math>\theta</math>, <math>\phi</math>, 좌표 <math>\theta</math> 그리고 <math>\phi</math> 변경되지 않은 다음 (제공된 <math>r \geq \frac{2 Gm}{c^2}</math>)<ref>{{저널 인용|제목=Isotropic coordinates and Schwarzschild metric|url=https://archive.org/details/sim_international-journal-of-theoretical-physics_1985-07_24_7/page/n74|저널=International Journal of Theoretical Physics|성=Buchdahl|이름=H. A.|저자링크=Hans Adolph Buchdahl|연도=1985|권=24|호=7|쪽=731–739|bibcode=1985IJTP...24..731B|doi=10.1007/BF00670880}}</ref>

: <math>r = r_1 \left(1+\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{2}</math>,<math>dr = dr_1 \left(1-\frac{(Gm)^2}{4c^4 r_1^2}\right)</math>, 그리고

:: <math>\left(1-\frac{2Gm}{c^2 r}\right) = \left(1-\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{2}/\left(1+\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{2}</math>

그런 다음 등방 [[직사각형]] 좌표의 경우 <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>,

: <math>x = r_1\, \sin(\theta)\, \cos(\phi) \quad,</math> &nbsp; <math>y = r_1\, \sin(\theta)\, \sin(\phi) \quad,</math> &nbsp; <math>z = r_1\, \cos(\theta)</math>

계량은 등방 직사각형 좌표에서 다음과 같이 된다.

: <math>ds^2= \left(1+\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{4}(dx^2+dy^2+dz^2) -c^2 dt^2 \left(1-\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{2}/\left(1+\frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^{2}</math>

== 정적 가정 생략하기 – 버코프의 정리 ==
슈바르츠실트 계량을 유도할 때 계량이 진공, 구형 대칭 및 정적 이라고 가정했다. [[버코프의 정리]]는 [[아인슈타인 방정식|중력장 방정식]] 구형 대칭 진공 해가 고정되어 있다고 명시하므로 정적 가정은 필요하지 않다. 따라서 슈바르츠실트 해는 다음과 같다. 버코프의 정리는 구형 대칭을 유지하는 맥동 별이 [[중력파]]를 생성하지 않는다는 결과를 가져온다. 별 외부 영역은 정적 상태로 유지되기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[카를 슈바르츠실트|칼 슈바르츠실트]]
* [[커 계량]]
* [[라이스너-노르드스트룀 계량|라이스너-노르드스트룀]] 계량

== 참고 문헌 ==
<references />

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]