슈바르츠실트 계량 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반 상대성 이론]]에서 '''슈바르츠실트 계량'''(Schwarzschild計量, {{llang|en|Schwarzschild metric}}) 또는 '''슈바르츠실트 해'''(Schwarzschild解, {{llang|en|Schwarzschild solution}})는 구형 대칭이며 대전되거나 회전하지 않고, 정적인 질량 분포를 나타내는 [[아인슈타인 방정식]]의 해이다. 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다. 이 계량으로 나타내어지는, 즉 회전하거나 대전되지 않는 [[블랙홀]]을 '''슈바르츠실트 블랙홀'''({{llang|en|Schwarzschild black hole}})이라고 한다.

== 정의 ==
일반적으로, [[털없음 정리]]에 따라, 블랙홀은 [[질량]] · [[각운동량]] · [[전하]] · [[자하]]만으로 결정된다. '''슈바르츠실트 계량'''은 전하·자하가 0인 정적인, 점근적으로 [[민코프스키 공간]]에 존재하는 유일한 구면 대칭 해이며, 회전하거나 대전되어 있지 않는 구형 별을 나타낸다. 만약 별의 크기가 슈바르츠실트 계량보다 작다면 [[블랙홀]]이 된다.

편의상 [[광속]]을 <math>c=1</math>로 놓고, &minus;+++… [[계량 부호수]]를 사용하면 <math>d>3</math>차원 시공간에서 '''슈바르츠실트 계량'''은
:<math>\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)^{-1}\mathrm dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega^2_{d-2}</math>
이 된다.<ref name="ER">{{저널 인용|제목=Black holes in higher dimensions|저널=Living Reviews in Relativity|성=Emparan|이름=Roberto|성2=Reall|이름2=Harvey S.|날짜=2008|권=11|쪽=6|언어=en|arxiv=0801.3471|bibcode=2008LRR....11....6E|doi=10.12942/lrr-2008-6}}</ref>{{rp|11}}

여기서,
* <math>r_0</math>는 길이의 단위를 가지는, [[사건 지평선]]의 위치를 나타내는 임의의 매개 변수이다.
* <math>d\Omega_{d-2}^2</math>는 반지름이 1인 <math>d-2</math>차원 [[초구]] <math>S^{d-2}</math>의 부피 원소로, 예를 들어 4차원 <math>d=4</math>인 경우, 이는 다음과 같은 [[구면 좌표계]] 넓이의 원소이다.
:<math>\mathrm d\Omega^2 = \mathrm d\theta^2 + \sin^2 \theta\mathrm d\phi^2</math>
3차원 이하에서는 이와 같은 [[사건의 지평선]]을 갖는 슈바르츠실트 해가 존재하지 않는다. (다만 음의 [[우주 상수]]의 경우 [[BTZ 블랙홀]]이라는 해가 존재한다.)

== 성질 ==
=== 질량과 열역학 ===
슈바르츠실트 계량의 [[ADM 질량]] <math>M</math>은 다음과 같다.<ref name="ER"/>{{rp|11}}
:<math>M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}</math>
여기서 <math>G</math>는 <math>d</math>차원 중력 상수이며,
:<math>\operatorname{vol}(S^{d-2})=\frac{(d-1)\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma((d+1)/2)}</math>
는 <math>d-2</math>차원 [[초구]]의 부피이다. 예를 들어, 4차원의 경우
:<math>M=r_0/2G</math>
이다.

윅 회전을 통해 계산하면, 임의의 차원에서 슈바르츠실트 블랙홀의 온도는 다음과 같다.
:<math>T=\frac{\hbar c}{4\pi k_{\text{B}}r_0}</math>
다시 말해, 슈바르츠실트 블랙홀은 이 온도의 [[호킹 복사]]를 방출한다.

사건 지평선의 넓이가
:<math>A=\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-2}</math>
이므로, 슈바르츠실트 해의 [[엔트로피]]는
:<math>S=A/4G</math>
이다.

=== 인과 구조 ===
슈바르츠실트 계량은 [[점근적 평탄 다양체|점근적으로 평탄]]하다. 즉, 원점에서 매우 멀리 떨어진 곳에서는 [[민코프스키 공간]]에 근접한다. 슈바르츠실트 계량은 <math>r=r_0</math>에서 [[사건 지평선]]을 갖는다. 이를 [[슈바르츠실트 반지름]]이라고 한다. 이 점에서 계량 텐서가 발산하는 것처럼 보이지만, 지평선은 사실 좌표 특이점에 불과하며, 다른 좌표계를 사용해 지평선 내부가 존재함을 보일 수 있다.

=== 대칭 ===
슈바르츠실트 계량은 <math>\operatorname O(d-1) \times \mathbb R</math> 대칭을 갖는다. 즉, 이는 <math>d-1</math>차원 공간의 회전에 대하여 불변이며, 또한 시간 변화에 대하여 불변이다. 즉, 이는 총 <math>(d-1)(d-2)/2+1</math>개의 [[킬링 벡터장]]에 해당한다.

[[버코프의 정리]]에 의하여, 진공이면서 구면 대칭을 갖는 [[아인슈타인 방정식]]의 해는 슈바르츠실트 계량 밖에 없다.

=== 일반화 ===
슈바르츠실트 블랙홀에 [[전하]]를 띠게 한 해는 [[라이스너-노르드스트룀 계량]]이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 [[커 계량]]이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 [[커-뉴먼 계량]]이 유일한 해이다.

== 슈바르츠실트-더 시터르 계량 ==
양의 [[우주 상수]] <math>\Lambda=(d-1)(d-2)R^{-2}/2</math>를 가진, <math>d>3</math>차원의 [[더 시터르 공간]]에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 '''슈바르츠실트-더 시터르 계량'''(Schwarzschild-de Sitter計量, {{llang|en|Schwarzschild–de Sitter metric}})이라고 하고, 다음과 같다.<ref name="SAV">{{저널 인용|제목=Les Houches lectures on De Sitter space|이름=Marcus|성=Spradlin|저자링크2=앤드루 스트로민저|이름2=Andrew|성2=Strominger|이름3=Anastasia|성3=Volovich|arxiv=hep-th/0110007|bibcode=2001hep.th...10007S|날짜=2001|언어=en}}</ref>
:<math>\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega_{d-2}^2</math>

=== 질량과 열역학 ===
슈바르츠실트-더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.
:<math>M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}</math>
이는 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

=== 인과 구조 ===
슈바르츠실트-더 시터르 계량은
:<math>1=(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2</math>
인 곳에서 [[킬링 지평선]]([[킬링 벡터]] <math>\partial/\partial t</math>가 영벡터가 되는 점)을 가진다. 이 식은 일반적으로 두 개의 해를 가지는데, 안쪽의 것은 블랙홀의 지평선, 바깥쪽의 것은 [[더 시터르 공간]]의 [[우주론적 지평선]]({{llang|en|cosmological horizon}})이다. 이 두 지평선은 일반적으로 서로 다른 온도를 가지며, 따라서 서로 다른 온도의 [[호킹 복사]]를 방출한다.<ref>{{저널 인용|제목=Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation|저널=Physical Review D|권=15|쪽=2738|날짜=1977-05-15|이름=G. W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|저자링크2=스티븐 호킹|이름2=Stephen W.|성2=Hawking|doi=10.1103/PhysRevD.15.2738 |issn=1550-7998|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Gravitational thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter space|이름=Claudio|성=Teitelboim|arxiv=hep-th/0203258|bibcode=2002hep.th....3258T|날짜=2002|언어=en}}</ref>

== 슈바르츠실트-반 더 시터르 계량 ==
음의 [[우주 상수]] <math>\Lambda=-(d-1)(d-2)R^{-2}/2</math>를 가진, <math>d>2</math>차원의 [[반 더 시터르 공간]]에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 '''슈바르츠실트-반 더 시터르 계량'''(Schwarzschild-反de Sitter計量, {{llang|en|Schwarzschild–anti-de Sitter metric}})이라고 하고, 다음과 같다.<ref name="ER"/>{{rp|56}}
:<math>ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{d-2}^2</math>
우주 상수가 없는 경우와 달리, 이 경우 3차원에서도 블랙홀이 존재한다. 이를 [[BTZ 블랙홀]]이라고 한다.

=== 질량과 열역학 ===
슈바르츠실트-반 더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.
:<math>M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}</math>
이는 반 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

반 더 시터르 공간의 온도를 질량에 따른 함수 <math>T(M)</math>라고 하자. 이 함수는 어떤 <math>M_0</math>에 대하여, <math>M\le M_0</math>인 경우 감소하지만 <math>M\ge M_0</math>인 경우 증가한다. 즉, 같은 온도를 가지지만 서로 다른 에너지를 가진 두 블랙홀이 존재하며, 블랙홀의 최저 온도 <math>T_\text{min}</math>가 존재한다. 이 온도에서 블랙홀은 [[1차 상전이]]를 겪는다. 이를 '''호킹-페이지 전이'''({{llang|en|Hawking–Page transition}})라고 하며, [[스티븐 호킹]]과 돈 페이지({{llang|en|Don Page}})가 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Thermodynamics of black holes in anti-de Sitter space|이름=S. W.|성=Hawking|저자링크=스티븐 호킹||이름2=Don N.|성2=Page|저널=Communications in Mathematical Physics|권=87|호=4|날짜=1982|쪽=577–588|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103922135|mr=0691045|doi=10.1007/BF01208266|언어=en}}</ref> 이는 [[AdS/CFT 대응성]]을 통해, 대응하는 [[등각 장론]]의 상전이로 해석할 수 있다.

=== 인과 구조 ===
이 계량은
:<math>1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2=0</math>
이 되는 <math>r</math>에서 [[사건 지평선]]을 갖는다.

== 슈바르츠실트 막 ==
<math>d</math>차원 민코프스키 공간에서, [[여차원]]이 <math>n</math>인 슈바르츠실트 [[검은 막]]은 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^n\right)\,\mathrm dt^2+\left(1-(r_0/r)^n\right)^{-1}\,dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega^2_{n-1}+dx_1^2+\cdots+\mathrm dx_{d-n-1}^2</math>
이는 <math>n+1</math>차원 공간에서의 슈바르츠실트 계량과 <math>d-n-1</math>차원 [[유클리드 공간]]의 [[곱공간]]이며, 리치 곡률이 0인 두 다양체의 곱공간 역시 리치 곡률이 0이므로 이 또한 [[아인슈타인 방정식]]의 진공해를 이룬다.<ref name="ER"/>{{rp|§3.2}} 이 경우, [[검은 막]]의 질량 밀도는 다음과 같다.
:<math>\rho=\frac{(n-1)\operatorname{vol}(S^{n-1})r_0^{n-2}}{16\pi G}</math>
이 검은 막의 온도는 다음과 같다.
:<math>T=\frac{\hbar c}{4\pi k_\text{B}r_0}</math>
슈바르츠실트 검은 막은 <math>r=r_0</math>에서 [[사건 지평선]]을 갖는다.

== 역사 ==
[[카를 슈바르츠실트]]가 1916년 1월에 제출한 8쪽의 짧은 논문에서 유도하였다.<ref name="Schwarzschild1916">{{저널 인용
 |last=Schwarzschild |first=K.|저자링크=카를 슈바르츠실트
 |날짜=1916
 |title=Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie
 |url=http://www.archive.org/stream/sitzungsberichte1916deutsch#page/188/mode/2up
 |journal=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
 |volume=7 |issue= |pages=189–196
 |bibcode=1916AbhKP......189S
 |언어=de
}}</ref> [[제1차 세계 대전]] 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 [[일반 상대성 이론]]을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구 결과를 [[알베르트 아인슈타인]]에게 보내고 같은 해 5월에 전사했다.

자신이 발견한 해에 대하여 슈바르츠실트는 다음과 같이 평했다.
{{인용문2|간단한 꼴의 엄밀해를 유도하는 것은 항상 기분 좋은 일이다.<br>{{lang|de|Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen.}}|<ref name="Schwarzschild1916"/>{{rp|190}}}}

== 같이 보기 ==
* [[슈바르츠실트 해 유도|슈바르츠실트 해의 유도]]
* [[일반 상대성 이론]]
* [[아인슈타인 방정식]]
* [[블랙홀]]
* [[케플러의 행성운동법칙]]
* [[커 블랙홀]]
* [[호킹 복사]]
* [[라이스너-노르드스트룀 계량]]
* [[더 시터르 공간]]
* [[크리스토펠 기호]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C 위키문헌-아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Schwarzschild metric}}
* {{nlab|id=Schwarzschild spacetime}}

{{블랙홀}}
{{상대론}}

[[분류:1916년 과학]]
[[분류:블랙홀]]
[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]