슈뢰더 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Ernst_schroeder.jpg|섬네일|[[에른스트 슈뢰더]](1841~1902)는 1870년에 자신의 이름을 딴 방정식을 공식화했다.]]
[[에른스트 슈뢰더]]의 이름을 딴 '''슈뢰더 방정식'''(Schröder's equation)<ref name="schr">{{저널 인용|제목=Ueber iterirte Functionen|저널=Math. Ann.|성=Schröder|이름=Ernst|저자링크=Ernst Schröder (mathematician)|연도=1870|권=3|호=2|쪽=296–322|doi=10.1007/BF01443992}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl|제목=Complex Dynamics|성=Carleson|이름=Lennart|저자링크=Lennart Carleson|성2=Gamelin|이름2=Theodore W.|연도=1993|총서=Textbook series: Universitext: Tracts in Mathematics|출판사=Springer-Verlag|isbn=0-387-97942-5}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/functionalequati0000kucz|제목=Functional equations in a single variable|성=Kuczma|이름=Marek|저자링크=Marek Kuczma|연도=1968|총서=Monografie Matematyczne|출판사=PWN – Polish Scientific Publishers|위치=Warszawa|isbn=978-0-02-848110-4|oclc=489667432}}</ref>은 하나의 독립 변수를 갖는 [[함수 방정식]]이다. 함수 <math>h</math>가 주어지면 다음과 같은 함수 <math>\Psi</math>를 구한다.{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>\forall x\;\;\;\Psi\big(h(x)\big) = s \Psi(x).</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}슈뢰더 방정식은 함수 <math>f</math>를 <math>f(h(\cdot))</math>로 보내는 합성 연산자 <math>C_h</math>에 대한 고유값 방정식이다.

<math>a</math>가 <math>h</math>의 고정점인 경우, 즉, <math>h(a)=a</math>이면 <math>\Psi(a)=0</math> (또는 <math>\infty</math>) <math>s=1</math>이다. 따라서, <math>\Psi(a)</math>가 유한하고 <math>\Psi'(a)</math>가 사라지거나 발산하지 않는 경우 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]] <math>s</math>는 <math>s=h'(a)</math>로 제공된다.

== 범함수적 중요성 ==
[[가브리엘 쾨니히스]]는 1884년에, <math>a=0</math>에 대해 <math>h</math>가 단위 원판에 대해 해석적이고, <math>0</math>을 고정시키고 <math>0<|h'(0)|<1</math>이면 슈뢰더 방정식을 만족하는 해석적(자명하지 않은) <math>\Psi</math>가 있음을 보여주었다. 이는 해석 함수 공간에서 합성 연산자를 이해하는 데 유용한 긴 정리들의 줄의 첫 번째 단계 중 하나이다.([[쾨니히스 함수]] 참조)

슈뢰더 방정식과 같은 방정식은 [[자기유사성]]을 인코딩하는 데 적합하므로 [[비선형계]](종종 구어체로 [[혼돈 이론]]이라고도 함) 연구에 광범위하게 활용되었다. 이는 [[난류 (역학)|난류]] 연구와 [[재규격화군]]에도 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum Electrodynamics at Small Distances|저널=Physical Review|성=Gell-Mann|이름=M.|저자링크=Murray Gell-Mann|성2=Low, F.E.|저자링크2=Francis E. Low|url=https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf|연도=1954|권=95|호=5|쪽=1300–1312|bibcode=1954PhRv...95.1300G|doi=10.1103/PhysRev.95.1300}}</ref><ref name="renorm">{{저널 인용|제목=Renormalization Group Functional Equations|저널=Physical Review D|성=Curtright|이름=T.L.|저자링크=Thomas Curtright|성2=Zachos, C.K.|날짜=March 2011|권=83|호=6|쪽=065019|arxiv=1010.5174|bibcode=2011PhRvD..83f5019C|doi=10.1103/PhysRevD.83.065019}}</ref>

슈뢰더 켤레 함수의 역 <math>\Phi=\Psi^{-1} </math>에 대한 슈뢰더 방정식의 등가 전치 형식은 <math>h(\Phi(y))=\Phi(sy) </math>이다. 변수 <math>\alpha(x)=\log(\Psi(x))/\log(s) </math>([[아벨 함수]])의 변경은 슈뢰더의 방정식을 이전 아벨 방정식<math>\alpha(h(x))=\alpha(x)+1 </math>으로 추가로 변환한다. 마찬가지로, 변수 변환<math>\Psi(x)=\log(\varphi(x))</math>은 슈뢰더 방정식을 뵈처 방정식, <math>\varphi(h(x))=(\varphi(x))^s </math>로 변환한다.

또한, 속도 <math>\beta(x)=\Psi/\Psi' </math>에 대해<ref name="renorm"/>, ''[[가스통 쥘리아|줄리아]] 방정식'' <math> \beta(f(x))= f'(x)\beta(x)</math>이 성립한다.

대신 슈뢰더 방정식 해의 <math>n</math> 제곱은 고유값 <math>s^n</math>을 갖는 슈뢰더 방정식의 해를 제공한다. 같은 맥락에서 슈뢰더 방정식의 가역적 해 <math>\Psi(x)</math>에 대해 (비가역) 함수 <math>\Psi(x)k\log(\Psi(x))</math>도 주기가 <math>\log(s) </math>인 주기 함수 <math>k(x)</math>에 대한 해이다. 슈뢰더 방정식의 모든 해는 이러한 방식으로 관련되어 있다.

== 해 ==
슈뢰더 방정식은 {{수학 변수|a}}가 끌개(초끌개는 아님) 고정점인 경우, 즉 <math>0<|h'(0)|<1</math>일 때 가브리엘 쾨니히스(1884)가 풀었다.<ref>{{저널 인용|제목=Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionelles|저널=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|성=Koenigs|이름=G.|저자링크=Gabriel Xavier Paul Koenigs|url=http://www.numdam.org/article/ASENS_1884_3_1__S3_0.pdf|연도=1884|권=1|호=3, Supplément|쪽=3–41|doi=10.24033/asens.247}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=On Analytic Iteration|저널=[[Journal d'Analyse Mathématique]]|성=Erdős|이름=Paul|저자링크=Paul Erdős|성2=Jabotinsky|이름2=Eri|저자링크2=Eri Jabotinsky|연도=1960|권=8|호=1|쪽=361–376|doi=10.1007/BF02786856}}</ref>

초끌개 고정점의 경우 <math>|h'(0)|=0</math>이면 슈뢰더의 방정식은 다루기 힘들고 [[뵈처 방정식]]으로 변환하는 것이 가장 좋다.<ref>{{저널 인용|제목=The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis|저널=Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. (Russian)|성=Böttcher|이름=L. E.|저자링크=Lucjan Böttcher|연도=1904|권=14|쪽=155–234}}</ref>

슈뢰더의 1870년 원본 논문으로 거슬러 올라가는 특정 해가 많이 있다.<ref name="schr"/>

고정점 주변의 급수 전개와 결과 궤도에 대한 해의 관련 수렴 성질 및 해당 해석적 성질은 [[세케레시 죄르지|세케레시]]에 의해 설득력 있게 요약되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Regular iteration of real and complex functions|저널=Acta Mathematica|성=Szekeres|이름=G.|저자링크=George Szekeres|연도=1958|권=100|호=3–4|쪽=361–376|doi=10.1007/BF02559539}}</ref> 몇몇 해는 점근적 급수로 제공된다. 칼먼 행렬 참조.

== 응용 ==
[[파일:Phase-space_Orbit_of-Logistic_map.jpg|오른쪽|섬네일|300x300픽셀| <span style="color:red">''s'' = 4 혼돈 로지스틱 사상 {{수학|''h''(''x'')}}</span> 의 페이즈 공간 궤도의 처음 5개 반주기는 슈뢰더 방정식을 통해 홀로그래픽으로 보간된다. <span style="color:green">{{수학|''h''<sub>''t''</sub>}}에 대해 속도 {{수학|''v'' {{=}} d''h''<sub>''t''</sub>/d''t''}} 가 표시된다</span> . 항상 모든 {{수학 변수|x}}를 휩쓸고 있는 궤도에서 혼돈은 분명하다.]]
<math>h(x)</math>에 의해 생성된 시스템(궤도)이 단순한 팽창처럼 보이는 새로운 좌표계를 찾아 이산 동적계를 분석하는 데 사용된다.

보다 구체적으로, 이산 단위 시간 단계가 <math>x\rightarrow h(x)</math>에 해당하는 계는 위의 슈뢰더 방정식, 켤레 방정식의 해로부터 재구성된 매끄러운 궤도 (또는 흐름)를 가질 수 있다.

즉, <math>h(x)=\Psi^{-1}(s\Psi(x))=h_1(x)</math>.

일반적으로 ''모든 함수적 반복'' (''정규 반복 군'', 반복 함수 참조)은 '''궤도'''에 의해 제공된다.{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>h_t(x) = \Psi^{-1}\big(s^t \Psi(x)\big),</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F9FFF7}}실수 {{수학 변수|t}}의 경우 — 반드시 양수이거나 정수일 필요는 없다. (따라서 완전 [[위상군|연속 군]]이다.) <math>h_n(x)</math>들의 집합, 즉 <math>h(x)</math> ([[반군|반 군]])의 모든 양의 정수 반복의 집합을 <math>h(x)</math>의 ''분할'' (또는 피카르 수열)이라고 한다.

그러나 <math>h(x)</math>의 ''모든 반복'' (분수, 무한소 또는 음수)은 마찬가지로 슈뢰더 방정식을 풀기 위해 결정된 좌표 변환 <math>\Psi(x)</math>를 통해 지정된다. 초기 이산 재귀 <math>x\rightarrow h(x)</math>의 홀로그램 연속 보간이 구성되었다;<ref name="tlc">{{저널 인용|제목=Evolution Profiles and Functional Equations|저널=Journal of Physics A|성=Curtright|이름=T.L.|저자링크=Thomas Curtright|성2=Zachos, C. K.|저자링크2=Cosmas Zachos|연도=2009|권=42|호=48|쪽=485208|arxiv=0909.2424|bibcode=2009JPhA...42V5208C|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208}}</ref> 이는 사실상, 전체 궤도이다.

예를 들어, 범함수 제곱근은 <math>h_{1/2}(x)=\Psi^{-1}(s^{1/2}\Psi(x))</math>이므로 <math>h_{1/2}(h_{1/2}(x))=h(x)</math>, 등등.

예를 들어, 혼돈의 경우 <math>h(x)=4x(1-x)</math>와 같은<ref>Curtright, T. L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20141030005609/http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html}}.</ref> [[로지스틱 사상]] 의 특수 사례는 슈뢰더가 그의 원본 논문<ref name="schr"/> (p.&nbsp;306)에서,

: {{수학|Ψ(''x'') {{=}} (arcsin {{radic|''x''}})<sup>2</sup>}}, {{수학|''s'' {{=}} 4}}, and hence {{수학|''h''<sub>''t''</sub>(''x'') {{=}} sin<sup>2</sup>(2<sup>''t''</sup> arcsin {{radic|''x''}})}}.

실제로 이 해는 일련의 스위치백 전위<ref>{{저널 인용|제목=Chaotic Maps, Hamiltonian Flows, and Holographic Methods|저널=Journal of Physics A|성=Curtright|이름=T. L.|저자링크=Thomas Curtright|성2=Zachos, C. K.|연도=2010|권=43|호=44|쪽=445101|arxiv=1002.0104|bibcode=2010JPhA...43R5101C|doi=10.1088/1751-8113/43/44/445101}}</ref> <math>V(x)\propto x(x-1)(n\pi+\arcsin\sqrt x)^2 </math>에 의해 결정되는 동작으로 나타나는 것으로 보인다. 이는 슈뢰더 방정식의 영향을 받는 연속 반복의 일반적인 특징이다.

그는 또한 자신의 방법 <math>h(x)=2x(1-x) </math>로 설명했던 혼돈이 아닌 경우를 다음과 같이 나타낸다.

: {{수학|1=Ψ(''x'') = −{{sfrac|1|2}}ln(1 − 2''x'')}}, and hence {{수학|1=''h''<sub>t</sub>(''x'') = −{{sfrac|1|2}}((1 − 2''x'')<sup>2<sup>''t''</sup></sup> − 1)}}.

마찬가지로 베버튼-홀트 모델 <math>h(x)=x/ (2-x)  </math>의 경우<ref name="tlc"/> <math>\Psi(x)=x/ (1-x)  </math>를 쉽게 찾을 수 있으므로<ref>{{저널 인용|제목=Random dispersal in theoretical populations|저널=Biometrika|성=Skellam|이름=J.G.|연도=1951|권=38|호=1-2|쪽=196−218|doi=10.1093/biomet/38.1-2.196|jstor=2332328}} See equations 41, 42.</ref>

: <math>h_t(x)= \Psi^{-1}\big(2^{-t} \Psi(x)\big) = \frac{x}{2^t + x(1 - 2^t)}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[뵈처 방정식]]

== 각주 ==
<references />

[[분류:수리물리학]]
[[분류:함수 방정식]]