술어 논리 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 설명|[[1차 논리]]를 가리킬 때 간단히 술어 논리라고 일컫기도 한다.}}

'''술어 논리'''(述語論理, {{llang|en|predicate logic}}) 또는 '''함수 논리'''(函數論理) 또는 '''양화 논리'''(量化論理)는 명제에 존재하는 '주어'와 '술어'의 구조로부터 '주어'가 될 수 있는 대상에 대해 한정 기호를 사용하는 논리이다. 따라서 [[명제 논리]]와는 달리 명제의 내부 구조 분석에 의한 [[추론 규칙]]을 다룰 수 있다.

[[1차 논리]] · [[2차 논리]] · [[고차 논리]] 따위가 있으며, 특히 수학의 기초를 이루는 1차 논리에서는 [[완전성]], [[건전성]]과 같은 여러 주요한 성질들이 성립한다.

술어 논리는 유럽의 [[고틀로프 프레게]]와 미국의 [[찰스 샌더스 퍼스]]에 의해 각각 독자적으로 창안되었다. 프레게의 초기 술어 논리는 여러 논리학자들에게 큰 영향을 주어 이후 20세기에 철저한 논리주의의 발전 속에 술어 계산(predicate calculus)으로서 형식화되었다.

== 개요 ==
{{참고|1차 논리}}
술어 논리에서는 하나의 명제를 [[술어]]와 [[객체]]로 분리하여 표현한다. 하나의 술어는 하나 이상의 객체를 수식할 수 있다. 또한 객체에는 상수가 사용될 수도 있고 [[변수]]가 사용될 수도 있다.
: <math>x</math>가 한국인 이라면 <math>x</math>는 인간이다.: <math>Korean(x) \to Man(x)</math>
변수 <math>x</math>가 나타내는 객체의 집합 <math>D</math>를 [[정의역]](domain)이라 한다. 이 정의역 내에서 '한국인'인 <math>x</math>만을 지정하는 기호로 '<math>\exists</math>'와 '<math>\forall</math>'를 사용할 수 있다. '<math>\exists x</math>'는 '적어도 어느 하나의 <math>x</math>가 존재함'을 나타내며 '존재기호'라 부른다. '<math>\forall x</math>'는 '모든 <math>x</math>에 대하여'라는 의미로 사용되며 '전칭기호'라 부른다.

'<math>\exists</math>'와 '<math>\forall</math>'를 총칭하여 '한정기호'라 하며 한정기호를 포함하고 있는 논리식에 대해서는 다음의 등식이 성립한다.

* <math>\neg (\exists x)P(x) \equiv (\forall x)\left \{ \neg P(x) \right \}</math>
* <math>\neg (\forall x)P(x) \equiv (\exists x)\left \{ \neg P(x) \right \}</math>
* <math>(\forall x)\left \{ P(x) \land Q(x)\right \} \equiv (\forall x)P(x) \land (\forall x)Q(x)</math>
* <math>(\exists x)\left \{ P(x) \lor Q(x)\right \} \equiv (\exists x)P(x) \lor (\exists x)Q(x)</math>
* <math>(\forall x)P(x) \equiv (\forall y)P(y)</math>
* <math>(\exists x)P(x) \equiv (\exists y)P(y)</math>

또한 술어 논리에서는 객체사이의 관계를 나타내는 함수기호를 사용할 수 있다. 예를 들어 "father(John)"은 'John'의 아버지에 해당되는 객체를 가리킨다.

== 명제논리와의 차이 ==
[[명제논리]]에서는 명제가 최소 단위이므로 명제의 내부구조에 대한 분석은 이루어질 수 없다. 예를 들어 다음과 같은 두 명제논리
:'소크라테스는 사람이다.'
:'플라톤은 사람이다.'
는 완전히 별개의 사실이며, 이것으로부터 '소크라테스'와 '플라톤'이 모두 사람이라는 유사점을 발견할 수 없다. 즉, 명제논리는 지식표현을 일반화할 수 없다. 따라서,
:'모든 사람은 죽는다.'
라는 명제를 추가할 때, 이 세 명제로부터 소크라테스와 플라톤은 죽는다는 사실을 유도해 낼 수 없게 되는 것이다.

술어 논리는 명제논리의 이러한 문제를 해결할 수 있다. 술어 논리는 하나의 명제를 술어와 그 술어의 수식을 받는 객체로 분리하여 '술어(객체)'의 형태로 표현한다. 예를 들면 앞의 세 명제는 다음과 같이 술어 논리식으로 표현될 수 있다.

:'소크라테스는 사람이다: <math>Man(SOCRATES)</math>'
:'플라톤은 사람이다: <math>Man(PLATON)</math>'
:'모든 사람은 죽는다: <math>\forall x \left \{ Man(x) \to Die(x) \right \}</math>'
여기서 <math>Man</math>은 '사람이다'라는 술어에 해당되고, <math>SOCRATES</math>와 <math>PLATON</math>은 각각 '소크라테스'와 '플라톤'을 나타내는 객체가 된다. 이때 <math>SOCRATES</math>와 <math>PLATON</math>은 모두 <math>Man</math>이라는 공통된 술어의 수식을 받고 있다. 이때 <math>Man(SOCRATES)</math>, <math>Man(PLATON)</math>이 모두 참이라면 <math>\forall x \left \{ Man(x) \to Die(x) \right \}</math>에 의해 <math>Die(SOCRATES)</math>와 <math>Die(PLATON)</math>이 모두 참이라는 사실을 유도해 낼 수 있다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[논리학]]
* [[1차 논리]]
* [[명제 논리]]

{{전거 통제}}

[[분류:술어 논리| ]]