순환 지표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]과 [[조합론]]에서 '''순환 지표'''(循環指標, {{llang|en|cycle index}})는 [[유한 집합]] 위에 [[충실하게 작용]]하는 [[유한군]]에 대응되는 다변수 [[다항식]] 불변량이다. [[군의 작용]]의 궤도들의 크기와 수에 대한 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]이다.

== 정의 ==
크기가 <math>n</math>인 [[유한 집합]] <math>X</math> 및 그 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 [[부분군]] <math>G\le\operatorname{Sym}(X)</math>이 주어졌다고 하자. (즉, <math>G</math>가 <math>X</math> 위에 [[충실하게 작용]]한다고 하자.) <math>G</math>의 '''순환 지표'''(循環指標, {{llang|en|cycle index}})
:<math>Z_G\in\mathbb Q[t_1,t_2,\dots,t_n]</math>
는 다음과 같은 [[다항식]]이다.
:<math>Z_G(t_1,t_2,\dots,t_n)=\frac1{|G|} \sum_{g\in G} t_1^{c_1(g)} t_2^{c_2(g)}
\cdots t_n^{c_n(g)}</math>
여기서 <math>c_i(g)</math>는 [[순열]] <math>g\in G</math>의 길이 <math>i</math>의 순환의 수이다. 즉, <math>g</math>로 생성되는 <math>G</math>의 부분군 <math>\langle g\rangle\le G</math>이 <math>X</math> 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 [[동형]]인 군이라도, 집합 위의 [[군의 작용|작용]]이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

== 예 ==
=== 자명군 ===
[[자명군]]은 임의의 크기 <math>n</math>의 [[유한 집합]] 위에 [[충실하게 작용]]한다. 이 경우 순환 지표는
:<math>Z_1(t_1,\dots,t_n)=t_1^n</math>
이다.

=== 순환군 ===
<math>n</math>차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>은 크기가 <math>n</math>인 집합 위에
:<math>\operatorname{Cyc}(n)=\{(1)(2)(3)\cdots(n),(123\cdots n),(1357\cdots),(147\cdots),(15\cdots)\}</math>
와 같이 [[군의 작용|작용]]한다. 이 작용을 갖춘 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>의 경우
:<math>Z_{\operatorname{Cyc}(n)}(t_1,\dots,t_n)=\frac1n\sum_{d\mid n}\phi(d)t_d^{n/d}</math>
이다. 여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.

=== 정이면체군 ===
<math>n</math>차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(n)=\langle a,b|a^n=b^2=(ba)^2=1\rangle</math>은 크기 <math>n</math>의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>a\mapsto (1234\cdots n)</math>
:<math>b\colon\begin{cases}
(1n)(2,n-1)\cdots(n/2,n/2+1)&2\mid n\\
(1n)(2,n-1)\cdots ((n+1)/2)&2\nmid n
\end{cases}
</math>
[[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(n)</math>의 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_{\operatorname{Dih}(n)}(t_1,\dots,t_n)=\frac12Z_{\operatorname{Cyc}(n)}(t_1,\dots,t_n)+\begin{cases}
\frac14(t_2^{n/2}+t_1^2t_2^{n/2-1})&2\mid n\\
\frac12t_1t_2^{(n-1)/2}&2\nmid n
\end{cases}</math>

=== 대칭군과 교대군 ===
크기 <math>n!</math>의 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 크기 <math>n</math>의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_{\operatorname{Sym}(n)}(t_1,t_2,\dots,t_n)=\sum_{j_1+2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + n j_n = n} \frac1{\prod_{k=1}^n k^{j_k} j_k!} \prod_{k=1}^n t_k^{j_k} </math>
이 합에서 <math>(j_1,j_2,\dots,j_n)</math>의 항은 크기 <math>i</math>의 순환이 <math>j_i</math>개 있는 순열에 대응한다.

크기 <math>n!/2</math>의 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(n)\le\operatorname{Sym}(n)</math> 역시 크기 <math>n</math>의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_{\operatorname{Alt}(n)}(t_1,t_2,\dots,t_n)=\sum_{j_1+2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + n j_n = n} \frac{1 + (-1)^{j_2+j_4+\cdots}}{\prod_{k=1}^n k^{j_k} j_k!} \prod_{k=1}^n t_k^{j_k}</math>
이 합에서 <math>1 + (-1)^{j_2+j_4+\cdots}</math>은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

=== 정육면체 ===
[[정육면체]] 및 [[정팔면체]]의 [[방향 (다양체)|방향]] 보존 대칭군 <math>O\le\operatorname{SO}(3)</math>은 <math>\operatorname{Sym}(4)</math>와 동형인, 크기가 24인 [[유한군]]이다. 이는 [[정육면체]]의 6개의 면 (또는 [[정팔면체]]의 6개의 [[꼭짓점]])에 [[충실하게 작용]]한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_O(t_1,t_2,\dots,t_6)=\frac1{24}\left(t_1^6+6t_1^2t_4+3t_1^2t_2^2+8t_3^2+6t_2^3\right)</math>
여기서 각 항은 다음과 같은 [[켤레류]]에 대응한다.
* <math>t_1^6</math>: 항등원
* <math>t_1^2t_4</math>: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* <math>t_1^2t_2^2</math>: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* <math>t_3^2</math>: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* <math>t_2^3</math>: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

<math>O</math>는 또한 [[정육면체]]의 8개의 [[꼭짓점]](또는 [[정팔면체]]의 8개의 면)에 [[충실하게 작용]]한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_O(t_1,t_2,\dots,t_6)=\frac1{24}\left(t_1^8+6t_4^2+9t_2^4+8t_1^3t_3^2\right)</math>
여기서 각 항은 다음과 같은 [[켤레류]]에 대응한다.
* <math>t_1^8</math>: 항등원
* <math>t_4^2</math>: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* <math>t_2^4</math>: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* <math>t_1^3t_3^2</math>: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* <math>t_2^4</math>: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

=== 정사면체 ===
[[정사면체]]의 대칭군 <math>T\le\operatorname{SO}(3)</math>은 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(4)</math>와 동형인, 크기 12의 [[유한군]]이다. 이는 [[정사면체]]의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 [[충실하게 작용]]한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:<math>Z_T(t_1,t_2,t_3,t_4)=\frac1{12}\left(t_1^4+8t_1t_3+t_2^2\right)</math>
여기서 각 항은 다음과 같은 [[켤레류]]에 대응한다.
* <math>t_1^4</math>: 항등원
* <math>t_1t_3</math>: 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
* <math>t_2^2</math>: 180도 회전

== 역사 ==
[[헝가리]]의 수학자 [[포여 죄르지]]가 1937년에 [[포여 열거 정리]]에 사용하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=G.|성=Pólya|저자링크=포여 죄르지|제목=Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen|저널=Acta Mathematica|권=68|호=1|날짜=1937|쪽=145–254|doi=10.1007/BF02546665|issn=0001-5962|zbl=0017.23202|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Polya’s enumeration formula by example|jstor=2688047|doi=10.2307/2688047|저널=Mathematics Magazine|이름=Alan|성=Tucker|권=47|호=5|날짜=1974-11|쪽=248–256|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/disk5/js/discrete-math/tucker.pdf|zbl=0297.05007|언어=en|확인날짜=2016-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20150616043122/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/disk5/js/discrete-math/tucker.pdf|보존날짜=2015-06-16|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CycleIndex|title=Cycle index}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2009/06/21/gila-v-the-polya-enumeration-theorem-and-applications/|제목=GILA V: The Polya enumeration theorem and applications|날짜=2009-06-21|이름=Qiaochu|성=Yuan|웹사이트=Annoying Precision|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2009/06/24/gila-vi-the-cycle-index-polynomials-of-the-symmetric-groups/|제목=GILA VI: The cycle index polynomials of the symmetric groups|날짜=2009-06-24|이름=Qiaochu|성=Yuan|웹사이트=Annoying Precision|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:열거조합론]]