순서체 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''순서체'''(順序體, {{llang|en|ordered field}})는 [[전순서]]가 주어진 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫 번째 정의는 다음과 같다. 체 <math>(F, +, *)</math>와 [[전순서]] <math>\le</math>는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.
# <math>a \le b </math>이면 <math>a + c \le b + c</math>이다.
# <math>0 \le a,b</math>이면 <math>0 \le ab</math>이다.

두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 <math>P \subset F</math>가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.
# <math>a,b \in P</math>이면 <math>ab \in P</math> 그리고  <math>a+b \in P</math>이다.
# <math>a \in F</math>인 모든 원소에 대해 <math>a^2 \in P</math>이다.
# <math>-1 \not\in P</math>이다.
이때 <math>P</math>는 <math>F</math>의 '''양수뿔'''({{llang|en|positive cone}})이라고 부른다. 이때 [[전순서]] <math>\le</math>를 다음과 같이 정의한다.
:<math>a \le b \iff b-a \in P</math>

== 성질 ==
* <math>x \le y, y \le z</math>이면 <math>x \le z</math>이다.
* <math>x \le y, z>0</math>이면 <math>xz \le yz</math>이다.
* 모든 수 <math>a</math>는 <math>-a \le 0 \le a</math>이거나 <math>a \le 0 \le -a</math>이다.
* 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
* 가장 작은 순서체는 [[유리수]]체와 [[동형사상|동형]]이며, [[아르키메데스 성질]]을 가진다.

== 예 ==
[[유리수]] · [[실수]] · [[대수적 수]] · [[계산 가능한 수]] · [[초실수]]는 모두 순서체를 이룬다. [[초현실수]]의 [[모임 (집합론)|모임]]은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.

실계수 [[유리 함수체]]는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.
* <math>x > c</math>, 여기에서 <math>c</math>는 모든 실수 상수이다.
* <math>p(x) = p_0 x^n + \cdots</math>, <math>q(x) = q_0 x^m + \cdots</math>일 때 <math>\frac{p(x)}{q(x)} > 0 \iff \frac{p_0}{q_0} > 0</math>.
이렇게 구성되는 순서체는 [[아르키메데스 성질]]이 없다.

반면, [[유한체]]와 [[p진수]]체는 순서체를 이룰 수 없다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ordered field}}

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]
[[분류:체론]]