순서쌍 문서 원본 보기

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[[파일:Ordered Pair Example.svg|thumb]]

[[수학]]에서 '''순서쌍'''(順序雙, {{llang|en|ordered pair}})이란 두 개의 [[수학적 대상]]을 순서를 정하여 짝지어 나타낸 쌍이다. 두 대상 ''a'', ''b''로부터 순서를 생각하여 만든 쌍을 흔히 (''a'', ''b'')로 적는다. 이는 ''a''와 ''b''가 같지 않는 한, (''b'', ''a'')와 다른 순서쌍이다.
순서쌍은 '''[[튜플|2-튜플]]''', 또는 '''두짝'''({{llang|en|2-tuple}})이라고도 불린다. 순서쌍 (''a'', ''b'')에서의 ''a'', ''b''를 각각 '''첫 번째, 두 번째 성분'''({{llang|en|first (second) entry}})이라고 한다. 때로는 '''첫 번째, 두 번째 좌표'''({{llang|en|first (second) coordinate}})라고도 한다.

두 순서쌍이 같을 [[필요충분조건]]은, 두 순서쌍의 첫째와 둘째 성분이 각각 같은 것이다. [[집합론]]에서는 이 성질을 구현하기 위해 (''a'', ''b'') := {{''a''}, {''a'', ''b''}}와 같은 정의를 자주 사용한다.

순서쌍의 성분은 [[스칼라]]이거나(2 차원 [[유클리드 벡터|벡터]]), 다른 순서쌍일 수 있다. 이로써, 순서쌍을 이용해 순서있는 [[튜플|n-튜플]]을 귀납적으로 정의하는 것이 가능하다. 예를 들어, 순서쌍 (''a'', ''b'', ''c'')는 (''a'', (''b'', ''c''))로 정의할 수 있다.

[[곱집합]], [[함수]]를 비롯한 [[이항관계]]와 같은 수학 개념은 순서쌍을 이용하여 정의되었다.

== 성질 ==
순서쌍의 가장 기본적인 성질은, 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 것이다. 즉,

:<math>(a,b)=(c,d)\ \iff\ a=c \wedge b=d</math>

이러한 성질을 순서쌍을 정의내리는 데에 사용할 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 <math>A</math>, 두 번째 성분을 집합 <math>B</math>에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 [[곱집합]]이라고 하고 <math>A\times B</math>로 표기한다. 집합 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이의 [[이항관계|이항 관계]]는 <math>A\times B</math>의 [[부분집합]]이다.

순서쌍의 통상적인 표기법은 <math>(a,b)</math> 꼴이지만, [[개구간]] 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 <math>\langle a,b\rangle</math>로 나타내기도 한다.

== 집합론적 정의 ==
순서쌍의 위 성질은 순서쌍의 본질을 보여주고 있다. 이 본질적인 성질을 [[공리]]로 두어 순서쌍을 [[무정의 용어]]로 취급할 수 있다. 이는 [[니콜라 부르바키]] 단체의 1954년 출간된 《집합론》에서 사용된 처리법이다. 1970년 출간된 2 판에서 [[카지미에시 쿠라토프스키|쿠라토프스키]]의 정의가 추가되었다.

[[수학기초론]]의 일원인 [[공리적 집합론]]에서는 모든 개념을 집합으로서 정의한다.<ref>{{서적 인용|언어=en|저자1=Willard Van Orman Quine|저자링크1=윌러드 밴 오먼 콰인|제목=Word and Object|연도=1873|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.529086|장=53}}</ref><ref>{{서적 인용|저자1=Thomas Forster|제목=Reasoning about theoretical entities|연도=2003|url=https://archive.org/details/reasoningaboutth0000fors|언어=en}}</ref> 순서쌍의 집합론적 정의의 예로는 다음의 것들이 있다.

=== 위너의 정의 ===
순서쌍의 최초 집합론적 정의는 1914년 [[노버트 위너]]에 의해 제안되었다.<ref name="Wiener">{{학위논문 인용|성=Wiener|이름=Norbert|저자링크=노버트 위너|편집자-성=van Heijenoort|편집자-이름=Jean|출판날짜=1967|제목=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic|출판사=Harvard University Press, Cambridge MA|판=재|장=A Simplification of the logic of relations|언어=en|isbn=0-674-32449-8}}</ref>

:<math>(a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset\},\,\{\{b\}\}\}</math>

그에 의하면 이러한 정의는 《[[수학 원리]]》의 모든 [[유형 이론|유형]]을 집합으로 정의될 수 있게 한다. (《수학 원리》의 [[관계 (수학)|관계]]를 비롯한 유형들은 본래 모두 정의내리지 않는 [[무정의 용어|원시 개념]]이다.)

그는 정의와 [[유형 이론]]이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), <math>\{b\}</math>가 아닌 <math>\{\{b\}\}</math>를 사용하였다, 이렇게 하면 <math>\{\{b\}\}</math>는 <math>\{\{a\},\,\emptyset\}</math>와 같은 유형이 된다.

=== 하우스도르프의 정의 ===
위너와 비슷한 시기에(1914), [[펠릭스 하우스도르프]]는 다른 정의를 제안하였다.

:<math>(a,\,b):=\{\{a,\,1\},\,\{b,\,2\}\}</math>

여기서 1, 2(1 ≠ 2)는 ''a'', ''b''와 다른 대상이다.<ref name="Wiener" />

=== 쿠라토프스키의 정의 ===
오늘날에 쓰이는 정의는 [[카지미에시 쿠라토프스키]]가 1912년에 제시하였다.<ref name="Wiener" /><ref>{{저널 인용|language=fr|title=Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles|first=Casimir|last=Kuratowski|authorlink=카지미에시 쿠라토프스키|year=1921|journal=Fundamenta Mathematicae|pages=161–171|volume=2|number=1|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm2/fm2122.pdf|확인날짜=2015-08-10|보존url=https://web.archive.org/web/20131021233518/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm2/fm2122.pdf|보존날짜=2013-10-21|url-status=dead}}</ref>

:<math>(a,\ b)_K=\{\{a\},\ \{a,\ b\}\}</math>

이 정의는 두 성분이 같은 경우에 쓰여도 무방하다.

:<math>(x,\ x)_K=\{\{x\},\ \{x,\ x\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}</math>

임의의 순서쌍 <math>p</math>의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 [[동치|동치성]]에 의해 추출할 수 있다.

* <math>a</math>는 순서쌍 <math>p</math>의 첫 번째 성분이다.
* <math>\forall Y\in p:a\in Y</math>
* <math>a=\bigcup\bigcap p</math>

비슷한 결론이 두 번째 성분에 대해서도 존재한다.

* <math>b</math>는 순서쌍 <math>p</math>의 두 번째 성분이다.
* <math>(\exists Y\in p:b\in Y)\wedge(\forall Y_1,Y_2\in p:(Y_1\ne Y_2) \rightarrow (b\notin Y_1\vee b\notin Y_2))</math>
* <math>b=\bigcup\{x\in\bigcup p|\bigcup p\ne\bigcap p \rightarrow x\notin \bigcup p\}</math>

==== 변형 정의 ====
위 정의는 순서쌍의 기본 성질을 반영하기에 충분하다, 즉 <math>(a,\,b)=(x,\,y)\leftrightarrow(a=x)\wedge(b=y)</math>. 순서성을 반영하는 데에도 충분하다, 즉 <math>a\ne b\rightarrow (a,\,b)\ne(b,\,a)</math>. 아래의 비슷한 정의들도 순서쌍을 구성하기에 충분하다.

* <math>(a,\,b)_\text{reverse}:=\{\{b\},\,\{a,\,b\}\}</math>
* <math>(a,\,b)_\text{short}:=\{a,\,\{a,\,b\}\}</math>
* <math>(a,\,b)_{01}:=\{\{0,\,a\},\,\{1,\,b\}\}</math><ref>이는 0, 1(0 ≠ 1)이 ''a'', ''b''와 다를 것을 요구하지 않는다는 점에서 하우스도르프의 정의와 다른 정의이다.</ref>

reverse 정의는 쿠라토프스키의 정의의 자명한 변형이며, 따로 논할 가치가 없다. short 정의는 [[괄호]]를 두 쌍만 사용한다는 점에서 이름을 땄다. short 정의는 몇가지 결점을 가진다. 첫째, 기본 성질을 만족함을 증명하기 위해 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[정칙성 공리]]를 사용해야 한다. 둘째, [[자연수]]의 [[순서수#폰 노이만 정의|폰 노이만 정의]]를 채용했을 때, <math>2=\{0,\,1\}=\{0,\,\{0\}\}=(0,\,0)_\text{short}</math>와 같은 부자연스러운 결과를 낳는다. 셋째, short 순서쌍의 원소는 항상 유형이 다르다. 그러나 short 정의에서의 순서쌍은 모두 2를 기수로 한다는 점, 또 [[미자르 시스템]]의 기초인 [[타르스키-그로텐디크 집합론]]에서 사용된다는 점에 주의할 필요 있다.

==== 기본 성질 성립 증명 ====
다음은 <math>(a,b)=(c,d) \iff a=c \wedge b=d</math> 성질의 증명이다.

* 쿠라토프스키
*# 먼저, <math>a=c\wedge b=d</math>이면,
*#: <math>(a,b)_K=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)_K</math>
*# 또한
*#: <math>\begin{array}{cl}
            & (a,b)_K=(c,d)_K \\
\Rightarrow & \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\} \\
\Rightarrow & (\{a\}=\{c\})\vee(\{a\}=\{c,d\}) \\
\Rightarrow & (a=c) \vee (c=a \wedge d=a) \\
\Rightarrow & a=c \\
\end{array}</math>
*# 그리고
*#: <math>\begin{array}{cl}
            & (a,b)_K=(c,d)_K \\
\Rightarrow & \bigcup(a,b)_K=\bigcup(c,d)_K \\
\Rightarrow & \{a,b\}=\{a,d\} \\
\Rightarrow & (b=a\vee b=d)\wedge(d=a\vee d=b) \\
\Rightarrow & (b=d)\vee(b=a\wedge d=a) \\
\Rightarrow & b=d \\
\end{array}</math>
* reverse 정의도 위와 비슷하게 기본 성질을 만족한다는 것을 보일 수 있다.
* short 정의. 아래에서 <math>(*)</math> 표기를 한 과정은 [[정칙성 공리]]를 사용하였다.<ref name=":0">첫 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 <math>c\in a,\,a\in c</math>인 두 집합 <math>a,c</math>는 존재하지 않는다. 두 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 <math>b,d</math> 모두 <math>a</math>에 속하지 않는다.</ref>
*# <math>a=c\wedge b=d\Rightarrow\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}\Rightarrow(a,b)_\text{short}=(c,d)_\text{short}</math>
*# 순서쌍의 같음 ⇒ ''a'' = ''c''
*#: <math>\begin{array}{clc}
            & (a,b)_\text{short}=(c,d)_\text{short} & \\
\Rightarrow & \{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\} & \\
\Rightarrow & (a=c\ \vee\ a=\{c,d\})\ \wedge\ (c=a\ \vee\ c=\{a,b\}) & \\
\Rightarrow & (a=c)\ \vee\ (a=\{c,d\}\ \wedge\ c=\{a,b\}) & \\
\Rightarrow & (a=c)\ \vee\ (c\in a\ \wedge\ a\in c) & \\
\Rightarrow & a=c & (*) \\
\end{array}</math>
*# 순서쌍의 같음 ⇒ ''b'' = ''d''
*#: <math>\begin{array}{clc}
            & (a,b)_\text{short}=(c,d)_\text{short} & \\
\Rightarrow & \{a,\{a,b\}\}=\{a,\{a,d\}\} & \\
\Rightarrow & a\cup\{a,b\}=a\cup\{a,d\} & \\
\Rightarrow & (b\in a\ \vee\ b=a\ \vee\ b=d)\ \wedge\ (d\in a\ \vee\ d=a\ \vee\ d=b) & \\
\Rightarrow & (b=a\ \vee\ b=d)\ \wedge\ (d=a\ \vee\ d=b) & (*) \\
\Rightarrow & (b=d)\ \vee\ (b=a\ \wedge\ d=a) & \\
\Rightarrow & b=d & \\
\end{array}</math>

=== 콰인-로서의 정의 ===
1953년 [[존 버클리 로서|로서]]는 [[윌러드 밴 오먼 콰인|콰인]]의 정의를 확장하였다. 로서-콰인 정의는 [[자연수]]의 선결적 정의를 필요로 한다. <math>\N</math>을 자연수의 집합으로 두고, <math>x\setminus\N</math>을 <math>\N</math>에 속하지 않는 <math>x</math>의 원소들의 [[차집합|집합]]이라고 하자. 먼저 함수 <math>\varphi</math>를 정의한다.

:<math>\varphi(x)=(x\setminus\N)\cup\{n+1:n\in(x\cap\N)\}</math>

이 변환은 <math>x</math> 안의 모든 자연수를 1 증가시킨다. 또한 <math>\varphi(x)</math>는 0을 포함하지 않는다. 그러므로 모든 집합 <math>x</math>, <math>y</math>에 대해 다음이 성립한다.

:<math>\varphi(x)\ne\{0\}\cup\varphi(y)</math>

이제 순서쌍 <math>(A,B)</math>를 정의한다.

:<math>(A,B)=\{\varphi(a):a\in A\}\cup\{0\cup\varphi(b):b\in B\}</math>

이렇게 정의된 순서쌍에서도 첫째, 둘째 성분을 추출할 수 있다. 첫째 성분 <math>A</math>는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들에 <math>\varphi</math> 변환을 벗겨서 이루어진 집합이다. 둘째 성분 <math>B</math>는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하는 모든 집합들에 적당한 변환을 가하여 이루어진 집합이다. 아래는 이의 공식화이다.

:<math>A=\{\varphi^{-1}(\alpha):\alpha\in(A,B),0\notin\alpha\}</math>
:<math>B=\{\varphi^{-1}(\beta\setminus\{0\}):\beta\in(A,B),0\in\beta\}</math>

[[유형 이론]]과 그의 갈래([[새기초 집합론]] 등)에서, 콰인-로서 순서쌍은 두 성분과 유형이 같다. 그렇기에 이 정의는 (일정 조건을 만족하는 순서쌍들로 이루어진 집합으로 정의된) [[함수]]가 변수보다 유형이 1 만큼만 크다는 장점이 있다. 이 정의는 자연수 집합이 무한할 때만 의미가 있다. [[새기초 집합론|NF]]는 그러하지만, 유형 이론이나 [[새기초 집합론|NFU]]는 그렇지 않다. 로서는 이러한 두 성분과 유형이 같은 순서쌍의 존재성으로부터 [[무한 공리]]를 유추할 수 있음을 증명하였다.

=== 모스의 정의 ===
[[모스-켈리 집합론]]에서는 [[고유 모임]]을 자유로이 사용할 수 있다. [[앤서니 모스|모스]]의 정의는 순서쌍의 성분이 고유 모임일 수도 있게끔한다. 이는 쿠라토프스키 정의에서 허용되지 않는다. 그는 우선 집합을 성분으로 하는 순서쌍을 쿠라토프스키의 방식으로 정의한 뒤, 순서쌍을 다음과 같이 재정의하였다.

:<math>(x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup(\{1\}\times s(y))</math>

여기서의 곱집합은 쿠라토프스키 순서쌍의 집합이고,

:<math>s(x)=\{\emptyset\}\cup\{\{t\}:t\in x\}</math>

이다.

이는 고유 모임을 성분으로 하는 순서쌍을 허용케 한다. 이는 위의 콰인-로서 정의도 마찬가지이다. 이와 비슷하게 [[세짝]]({{llang|en|3-tuple, triple}})을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:<math>(x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup(\{1\}\times s(y))\cup(\{2\}\times s(z))</math>

[[한원소 집합]]으로 이루어진 집합 <math>s(x)</math>의 사용하여 정의한 [[튜플]]은 일종의 유일성을 부여받는다. 즉, 임의의 ''n''-튜플 ''a''와 ''m''-튜플 ''b''에 대해, 만약 ''a'' = ''b'' 이면, ''n'' = ''m''이다. 이는 순서쌍을 이용해 재귀적으로 정의한 튜플에게는 없는 성질이다, (''a'', ''b'', ''c'') = (''a'', (''b'', ''c''))는 2-튜플이기도, 3-튜플이기도 하다.

== 범주론 ==
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* 튜플
* [[곱집합|곱]]<ref name=":0" />[[곱집합|집합]]
* [[이항관계]]
* [[함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{집합론}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:순서론]]
[[분류:유형 이론]]
[[분류:2]]