순서수 정의 가능 집합 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''순서수 정의 가능 집합'''(順序數定義可能集合, {{llang|en|ordinal-definable set}})은 유한 개의 [[순서수]]를 포함하는 [[1차 논리]] 공식으로 정의할 수 있는 집합이다.

== 정의 ==
다음 성질을 만족시키는 집합 <math>S</math>를 '''순서수 정의 가능 집합'''이라고 한다.
* 순서수 <math>\alpha</math> 및 순서수의 유한열 <math>\beta_1,\dots,\beta_n</math> 및 <math>n+1</math>개의 자유 변수를 갖는 [[1차 논리]] 공식 <math>\phi\in\langle\in\rangle</math>이 존재하며, <math>\{T\in V_\alpha\colon\phi(T,\beta_1,\dots,\beta_n)\}=\{S\}</math>이다.
순서수 정의 가능 집합의 [[고유 모임]]을 <math>\operatorname{OD}</math>라고 한다.

'''[[계승적 집합|계승적]] 순서수 정의 가능 집합'''(繼承的順序數定義可能集合, {{llang|en|hereditarily ordinal-definable set}})은 모든 부분집합이 계승적 순서수 정의 가능 집합인 순서수 정의 가능 집합이다. 계승적 순서수 정의 가능 집합의 [[고유 모임]]을 <math>\operatorname{HOD}</math>라고 한다.

== 성질 ==
계승적 순서수 정의 가능 집합의 [[고유 모임]]은 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[구조 (논리학)|모형]]이다. (계승적) 순서수 정의 가능 집합의 성질은 절대적이지 않다. 즉, 순서수 정의 가능 집합이 [[내부 모형]]에서는 더 이상 순서수 정의 가능하지 않을 수 있다.

만약 [[구성 가능성 공리]]를 가정한다면, 모든 집합은 계승적 순서수 정의 가능 집합이다.

모든 집합이 (계승적) 순서수 정의 가능 집합이라는 공리는 보통 <math>V=\operatorname{OD}</math> 또는 <math>V=\operatorname{HOD}</math>로 쓴다. 이 공리는 ([[구성 가능성 공리]]와 달리) 거의 모든 알려진 [[큰 기수]] 공리와 무모순적이며, 또한 [[선택 공리]]를 함의한다.<ref>{{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|저자링크=얀 미치엘스키|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[쿠르트 괴델]]이 1946년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Gödel | first=Kurt  | 날짜=1946 | 장=Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics |  편집자 =Solomon Feferman, John Dawson, Stephen Kleene |제목= Kurt Gödel: Collected Works, vol. II | 출판사= Oxford University Press |쪽=150–153 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

{{집합론}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론]]