수학적 최적화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:MaximumParaboloid.png|right|섬네일|300px|[[포물면]] <math>f(x, y) = -(x^2 + y^2) + 4.</math> 붉은 점 <math>(0, 0, 4)</math>에서의 [[최댓값]]을 갖는다.]]
'''수학적 최적화'''(最適化, {{llang|en|mathematical optimization 또는 mathematical programming}})는 특정의 [[집합]] 위에서 정의된 [[실수]]값, [[함수]], [[정수]]에 대해 그 값이 최대나 최소가 되는 상태를 해석하는 문제이다. '''수리 계획''' 또는 '''수리 계획 문제'''라고도 한다. [[물리학]]이나 [[컴퓨터]]에서의 최적화 문제는 생각하고 있는 함수를 모델로 한 [[시스템]]의 [[에너지]]를 나타낸 것으로 여김으로써 '''에너지 최소화 문제'''라고도 부른다.

== 최적화 문제 ==
{{본문|최적화 문제}}
최적화 문제는 다음과 같은 방법으로 표현한다.

:''수식:'' [[함수]] ''f'' : ''A'' <math>\to</math> '''R''' 어떤 [[집합]] ''A''에서 [[실수]] x 에 대해
:''의미:'' an element''x''<sub>0</sub> in ''A'' such that ''f''(''x''<sub>0</sub>) ≤ ''f''(''x'') for all ''x'' in ''A'' ("minimization") or such that ''f''(''x''<sub>0</sub>) ≥ ''f''(''x'') for all ''x'' in ''A'' ("maximization").

위와 같은 공식은 [[선형 계획법]] (linear programming)이라 한다. 실생활 및 이론적 문제 모두가 이와 같은 보편적 방법으로 해결할 수 있다.

함수 f의 값이 최소이거나 최대인 값을 찾으면 최적화 해법(optimal solution)을 찾은 것이 된다.<ref>이때 해당 함수 f를 부르는 방법은 다양한데, objective function, indirect utility function (minimization), utility function (maximization) 이라 불린다. 전공에 따라서 [[통계학]]의 경우 cost function (minimization) 이라고도 하고, [[물리학]]의 경우 energy function 이라고도 한다.</ref> 최적화 문제의 종류에 따라서 최적해를 찾기 위한 방법은 최소화(minimization) 혹은 최대화(maximization)로 나눌 수 있다.

== 역사 ==
[[피에르 드 페르마|페르마]]와 [[조제프루이 라그랑주|라그랑주]]가 최적화를 정의하기 위한 미적분 기반 함수를 제시하였고, [[아이작 뉴턴|뉴턴]]과 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]는 최적화를 반복문을 통해 찾아가는 해법을 제시하였다. 역사적으로 최적화 분야에서 최초로 이름이 붙여진 용어는 [[선형 계획법]]이다.

계획법(programming)이라는 용어는 [[컴퓨터 프로그래밍]](programming)과는 다른 용어이다. 미국에서 계획법이라는 용어는 [[조지 단치그]]의 연구 분야가 [[미국 육군]]에서 훈련과 수송 및 물류 업무에 활용되면서 널리 알려졌다.

== 주요 하위 분야 ==
* convex / concave 계획법
* integer 계획법
* fraction 계획법
* [[비선형 계획법]]
* stochastic 계획법
* stochastic 최적화

=== 다중 객체 최적화 문제 ===
{{빈 문단}}

=== 다중 해법 최적화 문제 ===
다중 해법 최적화 문제(multi-modal optimization)은 여러 개의 해법을 가지는 최적화 문제이고 그 전부의 cost function이 동일하여 모두가 좋은 해법인 문제이다.

== 컴퓨터를 통한 최적화 기술 ==
=== 최적화 알고리즘 ===
{{빈 문단}}
=== 반복 방법론 ===
* [[경사 하강법]]
=== 휴리스틱 ===
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[운용 과학]]
* [[최소제곱법]]
* [[변분법]]
* [[프로세스 최적화]]

== 각주 ==
<references/>

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:수학적 최적화]]
[[분류:수치해석학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:컴퓨터 과학]]
[[분류:시스템 분석]]