수학의 미해결 문제 목록 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{동적 목록}}
[[르네상스]] 이래 수학 문제에 대한 해답은 세기가 갈수록 이전 세기에 비해 증가해 왔다.<ref name="eves1990">Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'' 6th Edition, Thomson, 1990, {{isbn|978-0-03-029558-4}}.</ref> 그럼에도 불구하고 미해결된 수학의 크고 작은 문제들이 다수 존재한다. 미해결 문제는 여러 분야에서 나타나는데 [[물리학]], [[컴퓨터 과학]], [[대수학]], [[해석학]], [[조합론]], [[대수기하학]], 이산기하학, [[유클리드 기하학]], [[그래프 이론]], [[모형이론]], [[정수론]], [[집합론]], [[램지 이론]], [[동역학계]], [[편미분방정식]] 등에 걸친다. 몇몇 문제는 수학 내에서도 두 개 이상의 소분야에 걸쳐있을 수 있으며, 각 소분야의 개념을 적용하여 연구할 수 있다. 장기간 미해결된 문제는 상이 걸려있는 경우가 많은데, 이로 인해 [[밀레니엄 문제]]와 같은 목록들은 상당한 주목을 받는다.

== 유명한 목록들 ==
지난 세기부터 유명 수학자나 기관이 몇가지 중요한 미해결 문제를 모은 목록들을 제시한 바 있다.
{| class="wikitable sortable"
|-
! 목록 !! 문제 수 !! 미해결 혹은 <br> 부분적 해결 문제 수 !! 제안자 !! 제안 연도
|-
| [[힐베르트 문제]]<ref>{{인용|last=Thiele|first=Rüdiger|chapter=On Hilbert and his twenty-four problems|title=Mathematics and the historian's craft. The Kenneth O. May Lectures|pages=243–295|isbn=978-0-387-25284-1|editor-last=Van Brummelen|editor-first=Glen|year=2005|series=CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC|volume=21}}</ref>|| 23 || 15 || [[다비트 힐베르트]] || 1900
|-
| [[란다우 문제]]<ref>{{인용|title=Unsolved Problems in Number Theory|first=Richard|last=Guy|edition=2nd|publisher=Springer|year=1994|page=vii|url=https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7|isbn=978-1-4899-3585-4|access-date=2021-10-14}}.</ref>|| 4 || 4 || [[에드문트 란다우]] || 1912
|-
| 다니야마 문제<ref>{{저널 인용| last = Shimura | first = G. | title = Yutaka Taniyama and his time | journal = Bulletin of the London Mathematical Society | volume = 21 | issue = 2 | pages = 186–196 | year = 1989 | url = http://blms.oxfordjournals.org/content/21/2/186 | doi = 10.1112/blms/21.2.186 | access-date = 2021-10-14}}</ref>|| 36 || - || [[다니야마 유타카]] || 1955
|-
| 서스턴의 24개 질문들<ref>{{웹 인용 |url=http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/friedl/papers/dmv_091514.pdf |title=Archived copy |access-date=2021-10-14 |archive-date=2016-02-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160208034601/http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/friedl/papers/dmv_091514.pdf |url-status= }}</ref><ref>{{웹 인용|url=http://www.ams.org/journals/bull/1982-06-03/S0273-0979-1982-15003-0/S0273-0979-1982-15003-0.pdf|title=THREE DIMENSIONAL MANIFOLDS, KLEINIAN GROUPS AND HYPERBOLIC GEOMETRY|access-date=2021-10-14}}</ref> || 24 || - || [[윌리엄 서스턴]] || 1982
|-
| 스메일 문제 || 18 || 14 || [[스티븐 스메일]] || 1998
|-
| [[밀레니엄 문제]] || 7 || 6<ref name="auto1">{{웹 인용|url=http://claymath.org/millennium-problems|title=Millennium Problems|access-date=2024-04-28}}</ref> || [[클레이 수학연구소]] || 2000
|-
| 사이먼 문제 || 15 || <12<ref name="guardian">{{웹 인용|url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/aug/13/fields-medals-2014-maths-avila-bhargava-hairer-mirzakhani |title=Fields Medals 2014: the maths of Avila, Bhargava, Hairer and Mirzakhani explained |website=[[가디언]] |last=Bellos |first=Alex |date=2014-08-13 |access-date=2021-10-14}}</ref> || 배리 사이먼 || 2000
|-
| 21세기 미해결 수학 문제<ref>{{서적 인용| last1 = Abe | first1 = Jair Minoro | last2 = Tanaka | first2 = Shotaro | title = Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century | publisher = IOS Press | year = 2001 | url = https://books.google.com/?id=yHzfbqtVGLIC&printsec=frontcover&dq=unsolved+problems+in+mathematics#v=onepage&q&f=false | isbn = 978-9051994902}}</ref> || 22 || - || 자이르 아베, 다나카 쇼타로 || 2001
|-
| DARPA 수학 문제<ref>{{웹 인용| title = DARPA invests in math | publisher = [[CNN]] | date = 2008-10-14 | url = http://edition.cnn.com/2008/TECH/science/10/09/darpa.challenges/index.html | access-date = 2021-10-14}}</ref><ref>{{웹 인용 | title = Broad Agency Announcement (BAA 07-68) for Defense Sciences Office (DSO) | publisher = DARPA | date = 2007-09-10 | url = http://www.math.utk.edu/~vasili/refs/darpa07.MathChallenges.html | access-date = 2021-10-14 | archive-date = 2012-10-01 | archive-url = https://web.archive.org/web/20121001111057/http://www.math.utk.edu/~vasili/refs/darpa07.MathChallenges.html | url-status =  }}</ref>|| 23 || - || 미국 [[방위고등연구계획국]] || 2007
|}

=== 밀레니엄 문제 ===
{{참고|밀레니엄 문제}}
[[파일:Riemann-Zeta-Func.png|섬네일|332x332픽셀|위의 [[리만 제타 함수]]는 유명하고 영향력 있는 미해결 난제인 [[리만 가설]]에서 다루는 개념이다.]]
2000년에 [[클레이 수학 연구소]]가 발표한 7개의 [[밀레니엄 문제]] 중 아래 6개는 {{currentyear}}년 현재 미해결이다.<ref name="auto1"/>

* [[P-NP 문제]]
* [[호지 추측]]
* [[리만 가설]]
* [[양-밀스 질량 간극 가설]]
* [[나비에-스토크스 존재성과 매끄러움]]
* [[버치-스위너턴다이어 추측]]

7번째 문제인 [[푸앵카레 추측]]은 2003년 [[그리고리 페렐만]]에 의해 해결되었다.<ref>{{웹 인용|title=Poincaré Conjecture |url=http://www.claymath.org/millenium-problems/poincar%C3%A9-conjecture |archive-url=https://web.archive.org/web/20131215120130/http://www.claymath.org/millenium-problems/poincar%C3%A9-conjecture |archive-date=2013-12-15 |website=Clay Mathematics Institute}}</ref> 그러나 푸앵카레 추측을 일반화한 문제인 일반화 푸앵카레 추측은 아직 미해결이다.

== 분야별 미해결 문제 ==
=== [[대수학]] ===
* [[아다마르 행렬|아다마르 추측]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 15번째 문제]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 16번째 문제]]

==== [[군론]] ====
* 역 갈루아 문제: 모든 [[유한군]]은 [[유리수체]]의 [[확대체]]의 [[갈루아 군]]인가?
* 번사이드 문제: 모든 유한 생성 [[꼬임군]]은 유한한가?
* 모든 유한 표현 [[꼬임군]]은 유한한가?
* 렌스터 군, 즉 [[부분군|진부분군]]인 [[정규 부분군]]들의 [[순환군#정의#군의 차수|차수]]의 합이 군의 [[순환군#정의#군의 차수|차수]]와 같은 [[유한군]]이 무한히 많이 존재하는가?
* [[가공할 헛소리#일반화된 가공할 헛소리|일반화된 가공할 헛소리]]가 존재하는가?

=== [[해석학 (수학)|해석학]] ===
[[파일:gamma-area.svg|right|섬네일|파란색 영역의 넓이는 [[오일러-마스케로니 상수]]로, 유리수인지 아닌지는 밝혀지지 않았다.]]
* 불변 부분 공간 문제: [[복소수|복소]] [[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]는 임의의 자명하지 않은 [[열린집합|닫힌 부분공간]]을 자기 자신으로 사상시키는가?
* 평균값 문제: [[다항식#정의#차수|차수]]가 <math>d \ge 2</math>인 [[복소수|복소계수]] [[다항식]] <math>f</math>과 복소수 <math>z</math>가 주어졌을 때, <math>|f(z)-f(c)| \le |f'(z)||z-c|</math>를 만족하는 [[임계점 (수학)|임계점]] <math>c</math>가 존재하는가?
*센도프 추측: 2 이상의 정수 n에 대하여 모든 근 ''r''<sub>1</sub>, ..., ''r<sub>n</sub>'' 이 [[단위 원판]] |''z''| ≤ 1 내에 있는 [[다항식]] <math>f(z)=(z-r_1)\cdots(z-r_n)</math>에 대해, 모든 근이 최소한 1개 이상의 [[임계점 (수학)|임계점]]으로부터 1 이내의 거리에 있는가?
* [[란다우 상수]]와 [[블로흐 상수]]의 정확한 값은 얼마인가?
* [[플린트 힐스 급수]]의 수렴 여부
* [[오일러 방정식]]의 해의 정칙성
* 블라소프 방정식의 해의 정칙성

==== 초월적 수론 ====
*<math>\gamma</math> ([[오일러-마스케로니 상수]]), [[Pi|{{pi}}]]+''[[자연로그의 밑|e]]'', {{pi}}−''e'', {{pi}}''e'', {{pi}}/''e'', {{pi}}<sup>''e''</sup>, {{pi}}<sup>{{radic|2}}</sup>, {{pi}}<sup>{{pi}}</sup>, e<sup>{{pi}}<sup>2</sup></sup>, [[자연로그|ln]]{{pi}}, 2<sup>''e''</sup>, ''e<sup>e</sup>'', [[카탈랑 상수]], [[킨친 상수]]는 유리수인가, 대수적 무리수인가, 초월수인가?<ref>다음의 Eric W.Weisstein의 문서는 각 수들에 대한 설명이다. π: [http://mathworld.wolfram.com/Pi.html], e:  [http://mathworld.wolfram.com/e.html], 킨친 상수: [http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html], 무리수: [http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html], 초월수 [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html], 무리성 측도: [http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html], Wolfram ''MathWorld'', 2021년 10월 11일 확인.</ref><ref>Michel Waldschmidt, 2008, "An introduction to irrationality and transcendence methods," at The University of Arizona The Southwest Center for Arithmetic Geometry 2008 Arizona Winter School, March 15–19, 2008 (Special Functions and Transcendence), [http://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/AWSLecture5.pdf], 2021년 10월 11일 확인.</ref><ref>John Albert, posting date unknown, "Some unsolved problems in number theory" [from Victor Klee & Stan Wagon, "Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory"], in University of Oklahoma Math 4513 course materials, [http://www2.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf], 2021년 10월 11일 확인.</ref>
* 네 지수 추측: 두 [[복소수]] 쌍 <math>x_1, x_2</math>와 <math>y_1, y_2</math>가 서로 [[유리수]]에서 [[일차 독립 집합|일차 독립]]일 때, <math>e^{x_1y_1}, e^{x_1y_2}, e^{x_2y_1}, e^{x_2y_2}</math> 중 적어도 하나는 [[초월수]]인가?

=== [[기하학]] ===
==== [[대수기하학]] ====
* [[과잉 추측]]
* [[나카이 추측]]
* [[들리뉴 추측]]
* [[디미에 추측]]
* 마울리크–네크라소프–오쿤코프–판다리판데 추측, 즉 [[그로모프-위튼 불변량]]과 [[도널드슨-토마스 불변량 이론]]의 동일성에 대한 추측<ref>{{인용
 |last1=Maulik |first1=Davesh
 |last2=Nekrasov |first2=Nikita
 |last3=Okounov |first3=Andrei
 |last4=Pandharipande |first4=Rahul
 |title=Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory, I
 |arxiv=math/0312059
 |date=2004-06-05|bibcode=2003math.....12059M
 }}</ref>
* [[마닌 추측]]
* [[무게-모노드로미 추측]]
* [[배스 추측]]
* [[분할 추측]]
* [[비라소로 추측]]
* 자리스키 다양성 추측<ref>{{저널 인용|last=Zariski |first=Oscar|title=Some open questions in the theory of singularities |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=77 |issue=4 |year=1971 |pages=481–491 |doi=10.1090/S0002-9904-1971-12729-5 |mr=0277533|doi-access=free }}</ref>
* [[자코비안 추측]]
* [[테이트 추측]]
* [[파신 추측]]
* [[표준 추측]]
* [[프뢰베르크추측]]
* 하츠혼 추측<ref>{{저널 인용|title=On two conjectures of Hartshorne's |last1=Barlet |first1=Daniel |last2=Peternell |first2=Thomas |last3=Schneider |first3=Michael |doi=10.1007/BF01453563 |journal=Mathematische Annalen |year=1990 |volume=286 |issue=1–3 |pages=13–25|s2cid=122151259 }}</ref>
* [[후지타 추측]]

==== [[미분기하학]] ====
{{빈 문단}}

==== 덮기와 채우기 문제 ====
[[파일:Kissing-3d.png|섬네일|3차원에서, 단위 구 주위에 최대 12개의 구를 서로 겹치치 않고 단위 구와 접촉하게 만들 수 있으므로 입맞춤 수는 12이다. (여기서 바깥의 구의 중심들을 인접하는 구끼리 이으면 [[정이십면체]]가 된다.) 입맞춤 수가 알려진 차원은 1•2•3•4•8•24차원뿐이다.]]
* 1·2·3·4·8·24차원 외의 차원에서의 [[입맞춤 수 문제]]<ref>{{인용|first=John H.|last=Conway|author-link=|author2=Neil J.A. Sloane|author-link2=|year=1999|title=Sphere Packings, Lattices and Groups|edition=3rd|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-0-387-98585-5|pages=[https://books.google.com/books?id=upYwZ6cQumoC&pg=PA21 21–22]}}</ref>
* 에르되시-올러 추측: <math>n</math>이 [[삼각수]]일 때, <math>n-1</math>개의 단위 원을 채우기 위한 정삼각형의 변의 길이의 하한은 <math>n</math>개의 단위원을 채울 때와 같은가?<ref>{{인용|last=Melissen|first=Hans|doi=10.2307/2324212|issue=10|journal=American Mathematical Monthly|mr=1252928|pages=916–925|title=Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle|volume=100|year=1993|jstor=2324212}}</ref>
* 트라이포드 채우기: 주어진 정육면체 안에 채울 수 있는 트라이포드의 꼭짓점의 최대 개수는 얼마인가?<ref>{{인용|last1=Aronov|first1=Boris|last2=Dujmović|first2=Vida|last3=Morin|first3=Pat|last4=Ooms|first4=Aurélien|last5=Schultz Xavier da Silveira|first5=Luís Fernando|issue=1|journal=Electronic Journal of Combinatorics|page=P1.8|title=More Turán-type theorems for triangles in convex point sets|url=https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v26i1p8|volume=26|year=2019|bibcode=2017arXiv170610193A|arxiv=1706.10193|access-date=2021-10-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20190218082023/https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v26i1p8|archive-date=2019-02-18|url-status=live|doi-access=free|doi=10.37236/7224}}</ref>
*구 [[채우기 문제]]
*정사각형에 정사각형 채우기: 단위 정사각형을 한 변의 길이가 a인 정사각형에 최대한 채울 때 남는 공간의 점근적 성장률은 어떻게 되는가?<ref>{{인용|last1=Brass|first1=Peter|last2=Moser|first2=William|last3=Pach|first3=János|author3-link=|isbn=978-0387-23815-9|mr=2163782|page=45|publisher=Springer|location=New York|title=Research Problems in Discrete Geometry|url=https://books.google.com/books?id=WehCspo0Qa0C&pg=PA45|year=2005}}</ref>

==== 이산기하학 ====
* 레비-하트비거 추측: 임의의 ''n''차원 [[볼록 다포체]]는 이와 [[닮음#정의#중심닮음|중심닮음]]이면서 더 작은 <math>2^n</math>개의 다포체로 채워질 수 있는가?<ref>{{인용|title=Results and Problems in Combinatorial Geometry|first1=V.|last1=Boltjansky|first2=I.|last2=Gohberg|publisher=Cambridge University Press|year=1985|contribution=11. Hadwiger's Conjecture|pages=44–46}}.</ref>
* [[고본 삼각형]] 문제
* 에르되시-세케레스 추측: 평면 위에 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 점이 <math>2^{n-2}+1</math>개 있다면, 그 중 [[볼록 다각형|볼록 ''n''각형]]의 꼭짓점을 이루는 ''n''개의 점이 존재하는가?<ref>{{인용
 | last1 = Morris | first1 = Walter D.
 | last2 = Soltan | first2 = Valeriu
 | doi = 10.1090/S0273-0979-00-00877-6
 | issue = 4
 | journal = Bull. Amer. Math. Soc.
 | mr = 1779413
 | pages = 437–458
 | title = The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—a survey
 | volume = 37
 | year = 2000| doi-access = free
 }}; {{인용
 | last = Suk | first = Andrew
 | arxiv = 1604.08657
 | doi = 10.1090/jams/869
 | journal = J. Amer. Math. Soc.
 | title = On the Erdős–Szekeres convex polygon problem
 | year = 2016
 | volume=30
 | issue = 4
 | pages=1047–1053| s2cid = 15732134
 }}</ref>
* 에르되시 거리 문제: 서로 다른 점 ''n''개가 평면 위에 있을 때 반드시 찾을 수 있는 서로 다른 거리 수의 최솟값 <math>f(n)</math>을 찾아라.<ref>{{인용|last1=Brass|first1=Peter|last2=Moser|first2=William|last3=Pach|first3=János|contribution=5.1 The Maximum Number of Unit Distances in the Plane|isbn=978-0-387-23815-9|mr=2163782|pages=183–190|publisher=Springer, New York|title=Research problems in discrete geometry|year=2005}}</ref>

==== [[유클리드 기하학]] ====
* [[소파 옮기기 문제]]: 폭이 1이고 직각으로 꺾인 복도를 지나갈 수 있는 가장 면적이 넓은 도형은 무엇인가?<ref>{{인용|last=Wagner|first=Neal R.|date=1976|title=The Sofa Problem|journal=The American Mathematical Monthly|doi=10.2307/2977022|jstor=|volume=83|issue=3|pages=188–189|url=http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf|access-date=2021-11-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20150420160001/http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf|archive-date=2015-04-20|url-status=dead}}</ref>
*내접 정사각형 문제(퇴플리츠 추측): 임의의 [[닫힌 곡선|조르당 곡선]]에서 네 점을 잡아 [[정사각형]]을 만들 수 있는가?
*모서의 벌레 문제: 모든 단위 길이 곡선을 포함할 수 있는 최소 도형의 면적은 얼마인가?<ref>{{인용|last1=Norwood|first1=Rick|author1-link=|last2=Poole|first2=George|last3=Laidacker|first3=Michael|doi=10.1007/BF02187832|issue=2|journal=Discrete and Computational Geometry|mr=1139077|pages=153–162|title=The worm problem of Leo Moser|volume=7|year=1992|doi-access=free}}</ref>
*톰슨 문제: ''n''개의 상호 반발하는 입자들을 [[위치 에너지]]가 최소가 되도록 단위 구 위에 배치하는 방법은 무엇인가?<ref>{{인용|last=Whyte|first=L. L.|doi=10.2307/2306764|journal=The American Mathematical Monthly|mr=0050303|pages=606–611|title=Unique arrangements of points on a sphere|volume=59|issue=9|year=1952|jstor=2306764}}</ref>

=== [[동역학계]] ===
[[파일:Mandel zoom 07 satellite.jpg|섬네일|[[망델브로 집합]]. 망델브로 집합이 국소 연결인지 아닌지는 밝혀지지 않았다.]]
* [[콜라츠 추측]]
* MLC 추측: [[망델브로 집합]]이 [[국소 연결 공간|국소적 연결성]]을 가지는가?

=== 게임 및 퍼즐 ===
==== [[조합론적 게임 이론|조합론적 게임]] ====
* [[스도쿠]]
** 최소 형태의 문제가 기본적으로 제공하는 초기 정보의 최대 개수는 얼마인가?<ref name="openq">{{웹 인용 |url=http://english.log-it-ex.com/2.html |제목=보관된 사본 |확인날짜=2020-08-14 |archive-date=2017-11-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171110030932/http://english.log-it-ex.com/2.html |url-status= }} Ten open questions about Sudoku (2012-01-21).</ref>
** 유일한 풀이가 존재하는 문제의 개수는 얼마인가?<ref name="openq"/>
** 최소 형태의 문제 중에서 유일한 풀이가 존재하는 문제의 개수는 얼마인가?<ref name="openq"/>
* [[틱택토]]와 [[m,n,k-게임|변종들]]
** 너비가 정해진 틱택토 판에서 X가 이기는 전략이 보장되는 판의 최소 차원은 몇인가?<ref>{{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=FwJZa-helig |title=Higher-Dimensional Tic-Tac-Toe |website=[[PBS]] |publisher=[[YouTube]] |date=2017-09-21 |access-date=2021-10-14}}</ref>
* 중복되지 않는 모든 [[세포_자동자#기초_세포_자동자|기초 세포 자동자들]]의 [[튜링 완전|튜링 완전성]] 여부

==== [[게임 이론|불완전한 정보를 가진 게임]] ====
* [[w:en:Rendezvous problem|랑데부 문제]]

===[[그래프 이론]]===

* 하트비거의 추측: [[완전 그래프]] <math>K_t</math>의 [[그래프 마이너|마이너]]가 없는 그래프의 [[그래프 색칠|채색수]]는 ''t-1'' 이하인가?<ref>{{인용|last=Toft|first=Bjarne|journal=Congressus Numerantium|mr=1411244|pages=249–283|title=A survey of Hadwiger's conjecture|volume=115|year=1996}}.</ref>
* 하트비거-넬슨 추측: 단위 거리만큼 떨어진 임의의 두 점이 서로 다른 색을 갖도록 평면을 칠하기 위해 필요한 색의 최소 개수는 몇인가?<ref>{{인용|last1=Croft|first1=Hallard T.|last2=Falconer|first2=Kenneth J.|last3=Guy|first3=Richard K.|author-link3=|title=Unsolved Problems in Geometry|publisher=Springer-Verlag|year=1991}}, Problem G10.</ref>
* 하르보르트 추측: 모든 [[평면 그래프]]는 각 변의 길이가 정수가 되도록 그릴 수 있는가?<ref>{{인용|title=Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction|title-link=|series=Dover Books on Mathematics|last1=Hartsfield|first1=Nora|last2=Ringel|first2=Gerhard|author2-link=|publisher=Courier Dover Publications|year=2013|isbn=978-0-486-31552-2|at=[https://books.google.com/books?id=VMjDAgAAQBAJ&pg=PA247 p. 247]|mr=2047103}}.</ref>

=== [[모형 이론]] 및 [[형식 언어]] ===
{{빈 문단}}
=== [[정수론]] ===
==== [[해석적 수론]] ====

* [[빌 추측]]
* [[일반화 리만 가설]]
** [[리만 가설]]
* [[크라메르 추측]]
* [[웨어링의 문제]]

==== [[대수적 수론]] ====

* [[버치-스위너턴다이어 추측]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 9번째 문제]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 11번째 문제]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 12번째 문제]]

==== 미분류 ====
[[파일:Perfect_number_Cuisenaire_rods_6.png|섬네일|6은 양의 소인수 1, 2, 3의 합이 되므로 [[완전수]]이다. 얼마나 많은 완전수가 존재하는지, 홀수 완전수가 존재하는지는 밝혀지지 않았다.]]
* [[abc 추측]]
* [[힐베르트 문제|힐베르트의 11번째 문제]]
* [[에르되시-스트라우스 추측]]
* [[브로카 문제]]: <math>n=4,5,7</math> 외에 <math>n!+1=m^2</math>을 만족하는 정수쌍 <math>(n,m)</math>이 존재하는가?
*합동수 문제([[버치-스위너턴다이어 추측]]의 딸린 문제): 주어진 유리수가 합동수(세 변이 모두 유리수 길이를 갖는 [[직각삼각형]]의 넓이로 나타낼 수 있는 수)인지 어떻게 판별하는가?
*에르되시-모서 문제: 에르되시-모서 방정식 <math>1^k+2^k+\cdots+m^k=(m+1)^k</math>의 해는 1<sup>1</sup> + 2<sup>1</sup> = 3<sup>1</sup>이 유일한가?
* 짝수 [[완전수]]가 무한히 존재하는가? ([[메르센 소수]]가 무한히 존재하는지와 동치)
* 홀수 [[완전수]]가 존재하는가?
* [[친화수]]가 무한히 존재하는가?
* 홀수와 짝수로 이뤄진 [[친화수]]가 존재하는가?
* [[혼약수]]가 무한히 존재하는가?
* [[Pi|{{pi}}]], [[자연로그의 밑|e]], [[제곱근 2|<math>\sqrt{2}</math>]]가 [[정규수]]인가?
* [[라이크렐 수]]는 존재하는가?
*196, 879, 1997 등은 [[라이크렐 수]]인가?
*어떤 정수가 세 [[세제곱수]]의 합으로 표현될 수 있는가?<ref>{{ArXiv 인용|eprint=1604.07746v1|last1=Bruhn|first1=Henning|title=Newer sums of three cubes|last2=Schaudt|first2=Oliver|class=math.NT|year=2016}}</ref>
* [[오일러 벽돌|완벽한 직육면체 문제]]: 임의의 두 [[꼭짓점]] 사이의 거리가 정수인 [[직육면체]]가 존재하는가?

==== [[소수 (수론)|소수]] ====
[[파일:Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_50_rev4b.svg|섬네일=Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png|[[골드바흐의 추측]]은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이다.]]
* 모든 [[페르마 수]]는 제곱 인수가 없는가?
*''n''이 소수일 때 메르센 소수 ''M<sub>n</sub>''은 제곱 인수가 없는가?
* [[골드바흐의 추측]]
* [[쌍둥이 소수 추측]]
* [[사촌 소수]]가 무한히 존재하는가?
*피보나치 소수(소수인 [[피보나치 수]])가 무한히 존재하는가?
* [[섹시 소수]]가 무한히 존재하는가?
* [[소피 제르맹 소수]]가 무한히 존재하는가?

* 브로카 추측: ''n''번째 소수 ''p<sub>n</sub>''에 대해 (''p<sub>n</sub>'')<sup>2</sup>과 (''p<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>)<sup>2</sup> 사이에 4개 이상의 소수가 존재하는가?
* [[부냐콥스키 추측]]
* [[페르마 수|페르마 소수]]가 무한히 존재하는가?
* 합성수인 [[페르마 수]]가 무한히 존재하는가?

=== [[조합론]] ===
* 1/3-2/3 추측: 임의의 [[전순서 집합]]이 아닌 유한 [[부분 순서 집합]]은, 무작위로 [[w:en:Linear extension|선형 확장]]을 했을 때 ''x''가 ''y''보다 작을 확률이 1/3 이상 2/3 이하가 되도록 하는 두 원소 ''x'', ''y''를 가지는가?<ref>{{인용|last1=Brightwell|first1=Graham R.|last2=Felsner|first2=Stefan|last3=Trotter|first3=William T.|doi=10.1007/BF01110378|mr=1368815|issue=4|journal=Order|pages=327–349|title=Balancing pairs and the cross product conjecture|volume=12|year=1995|citeseerx=10.1.1.38.7841|s2cid=14793475}}</ref>
*외로운 러너 추측: 모든 자연수 n에 대하여, t=0에서 단위원의 같은 지점에서 출발해 서로 다른 속도로 원을 도는 n명의 러너가 있을 때, 모든 각 러너가 최소 한 번은 다른 러너와 1/k 이상 떨어지도록 하는 것이 가능한가?<ref>{{ArXiv 인용|first=Terence|last=Tao|author-link=테런스 타오|title=Some remarks on the lonely runner conjecture|year=2017|eprint=1701.02048|mode=cs2|class=math.CO}}</ref>
*No-three-in-line 문제: 어떤 세 점도 한 직선 위에 놓이지 않도록 <math>n\times n</math> 격자 위에 배치할 수 있는 점의 최대 개수는 얼마인가?
*프랑클 추측: 임의의 [[합집합]] 연산에 대해 닫힌 [[집합족]]은, 절반 이상의 집합에 속하는 원소가 항상 존재하는가?<ref>{{인용|last1=Bruhn|pages=2043–2074|last2=Schaudt|first2=Oliver|doi=10.1007/s00373-014-1515-0|issue=6|journal=Graphs and Combinatorics|mr=3417215|first1=Henning|archive-date=|title=The journey of the union-closed sets conjecture|volume=31|year=2015|arxiv=1309.3297|s2cid=17531822|access-date=2021-11-28|archive-url=|url-status=live}}</ref>
* [[램지의 정리#알려진 몇 가지 램지 수|램지 수]] <math>R(5,5)</math>의 값은?
*판데르바르던 수: 주어진 양의 정수 ''r''과 ''k''에 대해, ''N''개의 양의 정수 {1, 2, ..., ''N''}이 각각 ''r''개의 색 중 하나로 칠해졌을 때 같은 색의 ''k''개의 정수로 이루어진 [[등차수열]]이 항상 존재하도록 하는 N의 값은?

=== [[집합론]] ===
{{빈 문단}}

=== [[위상수학]] ===
[[파일:Ochiai_unknot.svg|섬네일|매듭 풀기 문제는 다이어그램으로 나타낸 매듭이 실제로 자명한 매듭임을 밝히기 위한 효율적인 알고리즘을 찾는다.]]

* 힐베르트-스미스 추측: 위상다양체에서 [[연속]]이고 [[충실한 작용]]을 가지는 [[국소 콤팩트 공간|국소 콤팩트]] [[위상군]]은 [[리 군]]인가?
* 매듭 풀기 문제: 자명한 매듭이 [[시간 복잡도#다항 시간 (Polynomial time)|다항 시간]] 내에 밝혀질 수 있는가?

==1995년 이후 해결된 문제==
* [[오각형 타일링]] (2017년, 마이클 라오)<ref>{{인용|url=https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/|magazine=Quanta Magazine|title=Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem|first=Natalie|last=Wolchover|date=|access-date=|archive-url=|archive-date=|url-status=live}}</ref>
* 에르되시 불일치 문제 (2015년, [[테런스 타오]])<ref>{{ArXiv 인용|eprint=1509.05363v5|last1=Bruhn|first1=Henning|title=The Erdos discrepancy problem|last2=Schaudt|first2=Oliver|class=math.CO|year=2015}}</ref>
* [[약한 골드바흐의 추측]] (2013년, 하랄드 헬프콧)<ref>{{ArXiv 인용|eprint=1305.2897|title=Major arcs for Goldbach's theorem|last=Helfgott|first=Harald A.|class=math.NT|year=2013}}</ref><ref>{{ArXiv 인용|eprint=1205.5252|title=Minor arcs for Goldbach's problem|last=Helfgott|first=Harald A.|class=math.NT|year=2012}}</ref><ref>{{ArXiv 인용|eprint=1312.7748|title=The ternary Goldbach conjecture is true|last=Helfgott|first=Harald A.|class=math.NT|year=2013}}</ref>
* [[그린-타오 정리]] (2004년, 벤 그린, [[테런스 타오]])<ref>{{저널 인용|title=Bombieri and Tao Receive King Faisal Prize|journal=Notices of the AMS|author=|url=http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500642p.pdf|date=May 2010|volume=57|issue=5|pages=642–643|issn=1088-9477|oclc=34550461|archive-url=|archive-date=|url-status=live|access-date=|quote=Working with Ben Green, he proved there are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers—a result now known as the Green–Tao theorem.}}</ref>
* [[푸앵카레 추측]] (2002년, [[그리고리 페렐만]])<ref name="auto">{{보도자료 인용|publisher=[[클레이 수학연구소]]|date=|title=Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf|accessdate=|quote=The Clay Mathematics Institute hereby awards the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture to Grigoriy Perelman.|archive-url=https://web.archive.org/web/20100322192115/http://www.claymath.org/poincare/|archive-date=2010-03-22|url-status=}}</ref>
* [[에르되시-그레이엄 추측]] (2000년, 어니스트 크루트)<ref>{{인용|last=Croot|first=Ernest S., III|author-link=|publisher=[[조지아 대학교]]|series=Ph.D. thesis|title=Unit Fractions|year=2000}}. {{인용|last=Croot|first=Ernest S., III|author-link=|arxiv=math.NT/0311421|doi=10.4007/annals.2003.157.545|issue=2|journal=[[수학연보]]|pages=545–556|title=On a coloring conjecture about unit fractions|volume=157|year=2003|bibcode=2003math.....11421C}}</ref>
* [[케플러의 추측]] (1998년, 사무엘 퍼거슨, 토마스 헤일스)<ref>{{ArXiv 인용|eprint=1501.02155|last1=Bruhn|first1=Henning|title=A formal proof of the Kepler conjecture|last2=Schaudt|first2=Oliver|class=math.MG|year=2015}}</ref>
* [[페르마의 마지막 정리]] (1995년, [[앤드루 와일스]], [[리처드 로런스 테일러]])<ref>{{저널 인용|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|journal=[[수학연보]]|last=[[앤드루 와일스]]|first=|authorlink=|url=|year=1995|volume=141|issue=3|pages=443–551|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|oclc=37032255|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date=|citeseerx=10.1.1.169.9076}}</ref><ref>{{저널 인용|title=Ring theoretic properties of certain Hecke algebras|journal=[[수학연보]]|author=[[리처드 로런스 테일러]], [[앤드루 와일스]]|url=|year=1995|volume=141|issue=3|pages=553–572|doi=10.2307/2118560|jstor=2118560|oclc=37032255|citeseerx=10.1.1.128.531}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[컴퓨터 과학의 미해결 문제 목록]]
* [[물리학의 미해결 문제 목록]]
* [[미해결 문제 목록]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{미해결 문제}}

[[분류:수학의 미해결 문제| ]]
[[분류:미해결 문제 목록]]